Bifurcatietheorie
- Inhoud:
Leerdoelen zijn het begrijpen en kunnen toepassen van
bifurcatietheorie, en kunnen werken met een aantal gevorderde technieken
uit de analyse.
Bifurcatie betekent splitsing in twee takken. Het bijbehorende beeld bij
differentiaalvergelijkingen is het
ontstaan van een extra evenwicht als een parameter verandert. Meer
algemeen wordt van bifurcatie gesproken bij
elke kwalitatieve verandering in de oplossingen van een dynamisch
systeem. De studie is een essentieel onderdeel van de kwalitatieve
theorie van dynamische systemen. De theorie vindt veel toepassingen in
ecologie, economie, natuurkunde en technologie, dankzij of
ondanks aandachttrekkende terminologie als 'catastrophe theory',
'critical transitions' en 'early warning signs'.
We zullen de rol en interpretaties in toepassingen bekijken, maar hebben
vooral aandacht voor de wiskundige aspecten.
Die beginnen met de ontwikkeling van technieken uit de analyse: globale
analyse met transversaliteit, impliciete functiestelling en
alternatieve methoden, normaalvormen en singulariteitentheorie. Hiermee
worden eerst verschillende lokale bifurcaties behandeld, zoals de
zadelknoop,
de periode-verdubbeling en de Hopf bifurcatie. Daarna worden globale
aspecten bekeken, zoals cascades van periode-verdubbelingen, chaotische
dynamica,
intermittentie en globale bifurcaties.
- Rooster:
Rooster op datanose
- Literatuur:
Syllabus "Bifurcation theory"
- Voorkennis:
Er wordt veelvuldig gebruik gemaakt van met name tweedejaars analysevakken, waaronder gewone differentiaalvergelijkingen.
- Toetsing:
Een deeltoets (40 %), inleveropdrachten (bonus bij voldoende voor toetsen, 20 %) en een schriftelijk tentamen (60 %)
Inhoud per college
- 31 augustus: hoorcollege: "Introduction"
5 september: werkcollege: Exercises 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3.
- 7 september: hoorcollege: "Introduction", "Rosenzweig-MacArthur model"; "One-dimensional saddle-node bifurcation"
9 september: werkcollege: Exercises 5.5.1, 5.5.3
inleveropdrachten: Exercises 1.3.4., 1.3.5 (in te leveren uiterlijk 23 september)
- 14 september: hoorcollege: "the planar Hopf bifurcation"
16 september: werkcollege: Exercises 5.5.8, 5.5.10
- 21 september: hoorcollege: "the planar Hopf bifurcation"
23 september: werkcollege: Exercises 5.5.9, 5.5.11
- 28 september: hoorcollege: "the planar Hopf bifurcation", "Implicit function theorem"
30 september: werkcollege: Exercises 5.5.13, 5.5.15
- 5 oktober: hoorcollege: "Implicit function theorem"
7 oktober: werkcollege: Exercises 2.6.3, 3.5.5
- 12 oktober: hoorcollege: "Center manifolds", "Normal forms"
14 oktober: werkcollege: Exercises 3.5.6, 3.5.8
- 26 oktober: tussentoets (anders dan in datanose gepland)
28 oktober: werkcollege: Exercise 3.5.7, bespreking tussentoets
- 2 november: hoorcollege: "Bogdanov-Takens bifurcation", "Floquet theory"
4 november: werkcollege: Exercise 6.5.1
- 9 november: hoorcollege: "Floquet theory", "Poincare return maps"
11 november: werkcollege vervalt
- 16 november: hoorcollege: "Poincare return maps"
18 november: werkcollege: 3.5.1, 3.5.2, 3.5.3, 3.5.4
- 23 november: hoorcollege: "Period doubling bifurcation"
25 november: werkcollege: 3.5.22, 3.5.23 (nummering van de nieuwe editie van het dictaat)
- 30 november: hoorcollege: "Hyperbolicity and Peixoto's theorem": Theorem 1.4, 1.5. "Sard's theorem": Theorem 9.1
2 december: