Dynamische systemen

(3de jaars bachelor)

Inhoud: Dit college geeft een overzicht van de theorie van dynamische systemen. Het is een vervolg op de cursus Gewone differentiaalvergelijkingen. De concepten en methoden voor lange tijdsgedrag van dynamische systemen worden behandeld. Hoewel ook differentiaalvergelijkingen aan bod komen, zal de nadruk liggen op iteraties van afbeeldingen. Zowel topologische als statistische ingangen komen aan bod. Steekwoorden zijn recurrentie, transitiviteit, entropie, symbolische dynamica en coderingen.
Eindtermen: Kennis van kwalitatieve en kwantitatieve theorie van dynamische systemen, gegeven door afbeeldingen of differentiaalvergelijkingen.
Studiemateriaal: Michael Brin, Garrett Stuck, Introduction to dynamical systems, Cambridge University Press, 2002
Onderwijsvorm:
- Hoorcollege: Maandag 11.15-13.00 uur, P.015B
- Werkcollege: Woensdag 9.15-11.00 uur, P.015B
Informatie over de cursus in 2005-2006
Toetsvorm: schriftelijk tentamen op donderdag 24 Mei, 12.00-15.00 uur in P.018
Huiswerk is facultatief.

Inhoud College

Hier volgt een indicatie van de behandelde stof op het college.

Week 1, 5 februari: Voorbeelden van dynamische systemen, cirkel afbeeldingen en schuifoperatoren (sectie 1.1-1.4).
Oefeningen: 1.2.1, 1.3.4, 1.4.2, 1.4.5
Huiswerk: 1.2.2
Week 2, 12 februari: Voorbeelden van dynamische systemen, Thom torus afbeelding, Smale hoefijzer, solenoide (sectie 1.7,1.8,1.9).
Oefeningen: 1.8.1,1.8.2,1.8.3
Huiswerk: 1.8.3
Week 3, 19 februari: Lyapunov exponenten, gevoelige afhankelijkheid van beginvoorwaarden, chaos (sectie 1.12,1.13)
Oefeningen: 1.13.1,1.13.3 (zie ook Hénon's artikel)
Week 4, 26 februari: Topologische dynamica. Limiet verzamelingen, Nonwandering set (sectie 2.1)
Oefeningen: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.6
Huiswerk: 2.1.9 (2.1.8 of 2.1.10 mag ook)
Week 5, 5 maart: Topologische dynamica. Minimale verzamelingen (sectie 2.1), topologische transitiviteit (sectie 2.2), topologisch mixing (sectie 2.3).
Oefeningen: 2.1.10, 2.2.3, 2.3.4.
Uitwerkingen voor exercises 2.1.8, 2.1.9, 2.1.10.
Huiswerk: 2.2.2, 2.3.3
Week 6, 12 maart: Topologische entropie (sectie 2.5 tot Proposition 2.5.3), berekening topologische entropie voor hyperbolische torusautomorfismen (Proposition 2.6.1).
Oefeningen: 2.5.4, 2.5.7, 2.6.1, geef een continue afbeelding op [0,1] met oneindig grote topologische entropie (hier is mijn oplossing)
Huiswerk: 2.6.2
Week 7, 19 maart: Topologische entropie (Proposition 2.5.3, Corollary 2.5.4), Inleiding ergodische theorie (Sectie 4.1), Poincare recurrentie (Theorem 4.2.1).
Oefeningen: 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3.
Huiswerk: 2.5.6
Week 8, 26 maart: collegevrij.
Week 9, 2 april: (vervangende docent: Hicham Zmarrou) Poincare recurrentie, ergodiciteit, invariante functies verband tussen ergodiciteit en topologische transitiviteit, mixing, exactheid.
Oefeningen: de irrationale cirkelrotatie is niet mixing, de tent afbeelding behoudt de Lebesgue maat en is ergodisch.
Week 10, 9 april: Geen hoorcollege.
Oefeningen: kettingbreuken.
Week 11, 16 april: Birkhoff ergodische stelling (Sectie 4.5, geen bewijzen). Minimale scheve product systemen.
Uitwerking voor exercise 2.2.6.
In deze tekst wordt aangetoond dat de topologische entropie van de afbeelding uit exercise 2.2.6 gelijk aan 0 is.
Week 12, 23 april: collegevrij.
Huiswerk: 5.1.1, 5.1.2, 5.1.3, 5.1.4. (In regel 8 van sectie 5.1 moet `is closer than \epsilon/m' vervangen worden door `is closer than \epsilon/m + \epsilon/m^2'.)
Week 13, 30 april: geen hoorcollege op maandag, er komt een hoorcollege i.p.v. het werkcollege op woensdag (hoewel de week officieel collegevrij is).
Hyperbolische dynamica. Schaduwen, expanderende cirkelafbeeldingen, structurele stabiliteit (Sectie 5.1)
Week 14, 7 mei: Hyperbolische dynamica.
Oefeningen: DA afbeeldingen op de torus, Plykin attractor.
Week 15, 14 mei: Hyperbolische dynamica (Sectie 5.2,5.3,5.4,5.5).
Oefeningen: 5.2.3, 5.2.7, 5.4.1
Week 16, 21 Mei: Vragenuur, bespreking proeftentamen.

Tentamenresultaten

Het hertentamen kan als take-home worden ingevuld; neem hiertoe contact op met de docent.

0477877	8.5
0130494	8
????????	7.5
0503649	7
0371475	6
0418846	4
0275131	2.5