Waar liggen de grenzen van de inzetbaarheid van computeralgebra? Er zijn eclatante successen zoals het factoriseren van veeltermen en het uitrekenen van integralen. Er is momenteel veel onderzoek gaande naar meer en snellere algoritmen. Ondertussen groeien de mogelijkheden van computers in een snel tempo door. Kunnen we nu spoedig willekeurig grote problemen oplossen? Twee factoren kunnen we onderscheiden die ons voor overspannen verwachtingen kunnen behoeden.
De eerste factor die meespeelt is de complexiteit van algoritmen
(het aantal elementaire operaties dat het algoritme nodig heeft als
functie van de grootte van de invoer). Van het Gröbner algoritme wordt
vermoed dat de complexiteit dubbelexponentiëel
is ().
Dus als we op een dag met een probleem van grootte
aan het bereik van
de beste computer zitten, en we een jaarlijkse verdubbeling van de
capaciteit van computers veronderstellen, dan zou het
nog
jaar duren
voordat een probleem van grootte
aangepakt kan.
Een dergelijke complexiteit verhindert dus in praktische zin een wezenlijke
groei. Men kan zich voorstellen dat dit een belangrijke reden voor onderzoek
naar snellere algoritmen vormt.
Een andere factor die meespeelt is dat van sommige problemen aangetoond is dat zij niet oplosbaar zijn. Dit geldt bijvoorbeeld voor het vereenvoudigen van expressies opgebouwd uit veeltermen en wortels. Men heeft bewezen dat er geen algoritme bestaat dat in staat is om voor elk tweetal uitdrukkingen die equivalent zijn, aan te tonen dat inderdaad hun verschil gelijk 0 is. Er zijn eveneens problemen met systemen als Mathematica die intern gebaseerd zijn op herschrijfregels, met de vraag of het rekenproces altijd tot een einde komt.
Hoe ontwikkelen computeralgebra-systemen zich verder? De richting van
een omgeving om te rekenen en wiskunde te bedrijven is nog steeds
van groot belang. Het gebruiksinterface speelt een voorname rol.
De koplopers Maple en Mathematica onder de general purpose systemen
strijden om het hardst om het beste interface te bieden.
Maple V Release 4 uit 1996 is een gentegreerde werkomgeving voor
werken met formules, grafieken, en teksten.
Wiskundige formules staan in zetvorm zoals wiskundige
formules er ook uit horen te zien op scherm en papier.
Grafieken kunnen in allerlei formaten (PostScript, GIF, JPG, HPGL, etc.)
afgedrukt en bewaard worden. Een Maple worksheet heeft een hypertext-structuur
en is in zijn geheel te transformeren in vorm, klaar voor
de zetmachine.
Met de oplevering van Mathematica 3.0 eind 1996 neemt
Wolfram Research de leidende positie onder computeralgebra-systemen
op het gebied van gebruiksinterfaces weer in. Mathematica notebooks
zijn ook van zetkwaliteit met formules die netjes op het scherm
komen, Griekse en andere letters, style sheets, enzovoort.
Conversie van notebooks naar , HTML en andere externe formaten
is mogelijk. Notebooks zijn zelf Mathematica datastructuren en kunnen dus
geprogrammeerd worden. Commando's, karakters, e.d. kunnen via paletten
ingevoerd worden. En u begrijpt het al: paletten zijn zelf
Mathematica datastructuren en kunnen dus geprogrammeerd worden.
Kortom teveel moois om allemaal op te noemen.
Welke andere ontwikkelingen van computeralgebra-systemen in de richting van werkomgevingen zijn er? Je kunt bijvoorbeeld denken aan een omgeving waar je een probleem kunt specificeren in een tekstverwerker (Scientific WorkPlace is een eerste product van deze soort). Je kunt denken aan een omgeving waar je de kennis van het domein kunt opgeven aan een wiskundesysteem op de achtergrond, waar je berekeningen kunt laten doen door een wiskundesysteem naar keuze, waar je verwijzingen in de literatuur er op na slaan (links naar het Web maken dit eigenlijk al mogelijk). Een andere herkenbare trend is het maken van bibliotheken (meestal in C++) voor speciale doeleinden. Bijvoorbeeld, de POSSO library is een C++ bibliotheek met state-of-the-art routines in Gröbnerbasis theorie. Dergelijke bibliotheken zullen dan via speciale protocollen wiskundige data kunnen uitwisselen. Het OpenMath project houdt zich met het laatste bezig. Maar variërend op het vloeien van het water door de Rijn, zal er nog een veelheid van symbolen te manipuleren zijn, voordat we een werkelijke wiskunde-omgeving als een vanzelfsprekendheid zullen zien.