/ I add this to html files generated with pandoc. */
html { font-size: 100%; overflow-y: scroll; -webkit-text-size-adjust: 100%; -ms-text-size-adjust: 100%; }
body { color: #444; font-family: Georgia, Palatino, 'Palatino Linotype', Times, 'Times New Roman', serif; font-size: 12px; line-height: 1.7; padding: 1em; margin: auto; max-width: 50em; background: #fefefe; }
div#TOC { float: left; position: static; margin-left: -25em; margin-right:2em; margin-top:10em; padding: 1em; background: #eee; // border: 1px solid gray; }
.right_pic { float: right; opacity: 1; margin-right: -12em; padding: 1px; }
.left_pic_border{
margin-left: .1em; opacity: 1; padding: 1px; border: 1px solid gray; } .left_pic_float{ float:left;
margin-left: .1em; margin-right: 1em; opacity: 1; padding: 1px; } .right_pic_big { float: right; opacity: 1; margin-right: -18em; padding: 1px; }
.middle_pic{ float: middle; margin-left: 5em; opacity: 1; padding: 1px; }
.middle_pic_border{ float: middle; margin-left: 5em; opacity: 1; padding: 1px; border: 1px solid gray; }
a { color: #0645ad; text-decoration: none; }
a:visited { color: #0b0080; }
a:hover { color: #06e; }
a:active { color: #faa700; }
a:focus { outline: thin dotted; }
*::-moz-selection { background: rgba(255, 255, 0, 0.3); color: #000; }
*::selection { background: rgba(255, 255, 0, 0.3); color: #000; }
a::-moz-selection { background: rgba(255, 255, 0, 0.3); color: #0645ad; }
a::selection { background: rgba(255, 255, 0, 0.3); color: #0645ad; }
p { margin: 1em 0; }
img { max-width: 100%; }
h1, h2, h3, h4, h5, h6 { color: #111; line-height: 125%; margin-top: 2em; font-weight: normal; }
h4, h5, h6 { font-weight: bold; }
h1 { font-size: 2.5em; }
h2 { font-size: 2em; }
h3 { font-size: 1.5em; }
h4 { font-size: 1.2em; }
h5 { font-size: 1em; }
h6 { font-size: 0.9em; }
blockquote { color: #666666; margin: 0; padding-left: 3em; border-left: 0.5em #EEE solid; }
hr { display: block; height: 2px; border: 0; border-top: 1px solid #aaa; border-bottom: 1px solid #eee; margin: 1em 0; padding: 0; }
pre, code, kbd, samp { color: #000; font-family: monospace, monospace; _font-family: 'courier new', monospace; font-size: 0.98em; }
pre { white-space: pre; white-space: pre-wrap; word-wrap: break-word; }
b, strong { font-weight: bold; }
dfn { font-style: italic; }
ins { background: #ff9; color: #000; text-decoration: none; }
mark { background: #ff0; color: #000; font-style: italic; font-weight: bold; }
sub, sup { font-size: 75%; line-height: 0; position: relative; vertical-align: baseline; }
sup { top: -0.5em; }
sub { bottom: -0.25em; }
ul, ol { margin: 1em 0; padding: 0 0 0 2em; }
li p:last-child { margin-bottom: 0; }
ul ul, ol ol { margin: .3em 0; }
dl { margin-bottom: 1em; }
dt { font-weight: bold; margin-bottom: .8em; }
dd { margin: 0 0 .8em 2em; }
dd:last-child { margin-bottom: 0; }
img { border: 0; -ms-interpolation-mode: bicubic; vertical-align: middle; }
figure { display: block; text-align: center; margin: 1em 0; }
figure img { border: none; margin: 0 auto; }
figcaption { font-size: 0.8em; font-style: italic; margin: 0 0 .8em; }
table { margin-bottom: 2em; border-bottom: 1px solid #ddd; border-right: 1px solid #ddd; border-spacing: 0; border-collapse: collapse; }
table th { padding: .2em 1em; background-color: #eee; border-top: 1px solid #ddd; border-left: 1px solid #ddd; }
table td { padding: .2em 1em; border-top: 1px solid #ddd; border-left: 1px solid #ddd; vertical-align: top; }
.author { font-size: 1.2em; text-align: center; }
@media only screen and (min-width: 480px) { body { font-size: 14px; } } @media only screen and (min-width: 768px) { body { font-size: 16px; } } @media print { * { background: transparent !important; color: black !important; filter: none !important; -ms-filter: none !important; }
body { font-size: 12pt; max-width: 100%; }
a, a:visited { text-decoration: underline; }
hr { height: 1px; border: 0; border-bottom: 1px solid black; }
a[href]:after { content: " (" attr(href) ")"; }
abbr[title]:after { content: " (" attr(title) ")"; }
.ir a:after, a[href^="javascript:"]:after, a[href^="#"]:after { content: ""; }
pre, blockquote { border: 1px solid #999; padding-right: 1em; page-break-inside: avoid; }
tr, img { page-break-inside: avoid; }
img { max-width: 100% !important; }
@page :left { margin: 15mm 20mm 15mm 10mm; }
@page :right { margin: 15mm 10mm 15mm 20mm; }
p, h2, h3 { orphans: 3; widows: 3; }
h2, h3 { page-break-after: avoid; } }
Na het behalen van het college algebra 3 kan je
Definitie en voorbeelden geven van algebraische lichaamsuitbreidingen en kunnen herkennen en bewijzen of ze eindig, algebraisch, (zuiver) transcendent, normaal, separabel en/of Galois zijn.
Definitie geven van lichamen, en een groot scala aan voorbeelden geven van lichamen. Eindige lichamen, (im)perfecte lichamen, getallenlichamen. Voorbeelden:
Beschrijf het eindige lichaam ${\mathbb F}_{5^5}$ door een expliciet irreducibel polynoom f over ${\mathbb F}_5$ te geven zó dat ${\mathbb F}_{5^5} \cong {\mathbb F}_5[X]/(f)$.
Beschrijf alle deellichamen van het lichaam ${\mathbb Q}(\zeta_{15})$, waarbij ζ15 ∈ ℂ een primitieve 15-e eenheidswortel is.
Definiëren wat een algebraisch afgesloten lichaam is, en bewijzen waarom elk lichaam een algebraïsche afsluiting heeft (en kunnen uitleggen wat de rol van Zorn's lemma hierin is).
Werken met polynomen in 1 variabele. (Ir)reducibelheid herkennen, polynomen factorizeren, het Eisensteincriterium, Artin-Schreier polynomen, de Galois groep bepalen, normaal, separabel.
Definitie geven van het norm en spoor van een element in een eindige uitbreiding en uitrekenen van voorbeelden.
De hoofdstelling van Galoistheorie kunnen formuleren en kunnen toepassen, zowel op abstracte problemen als voor de berekening van concrete voorbeelden. Voorbeelden:
Geef een voorbeeld van een kwadratische uitbreiding van lichamen L/K die niet separabel is.
Geef een voorbeeld van een eindige Galois uitbreiding van ${\mathbb Q}$ met Galois groep isomorf aan ${\mathbb Z}/5{\mathbb Z}$.
Laat zien dat voor een eindige Galois uitbreiding L/K met groep G, de maximale tussenuitbreiding L/M/K met M/K oplosbaar, correspondeert met het maximale oplosbare quotient van G.
Stel P is een van de eigenschappen Galois, construeerbaar, eindig, separabel, normaal, etc. Als in een toren van lichamen L/M/F elke stap eigenschap P heeft, heeft de totale uitbreiding L/F dan ook eigenschap P?
Uitleggen hoe de Galoisgroep werkt op de nulpunten van een separabel polynoom en hoe eigenschappen van deze groepswerking vertalen in eigenschappen van dit polynoom. Voorbeeldopgave:
Definiëren wat Symmetrische polynomen zijn. De discriminant van een (separabel) polynoom bepalen via de resultante en uitleggen hoe deze discriminant relateert met de Galois groep. Voor een gegeven polynoom f ∈ K[X] symmetrische uitdrukkingen in de wortels van f bepalen. Voorbeeldopgave:
Een expliciet voorbeeld geven van een polynoom $f \in {\mathbb Q}[X]$ van graad 5 zó dat Gal(f) isomorf is met S5 (en dit ook bewijzen).
Het verband tussen complexe conjugatie in Galoisgroepen en re"ele nulpunten van polynomen kunnen uitleggen en kunnen gebruiken in concrete vraagstukken. Voorbeeldopgave:
Uitleggen wat het verband is tussen oplosbaarheid van polynomen en oplosbaarheid van de Galoisgroep. Beslissen en bewijzen of bepaalde concrete polynomiale vergelijkingen opgelost kunnen worden met radicalen. Voorbeeldopgave:
Uitleggen hoe je Galoistheorie kunt gebruiken om de klassieke Griekse constructieproblemen op te lossen. Beslissen of de regelmatige n-hoek construceerbaar is met passer en lineaal, beslissen of voor een gegeven getallenlichaam $K \subset {\mathbb C}$ en polynoom f ∈ K[X] de nulpunten van f in ${\mathbb C}$ construeerbaar zijn.