Lezersaanbieding

De Natuurwetten door Sander Bais


In de populaire wetenschap rust een taboe op het gebruik van vergelijkingen. Want bij iedere vergelijking zou de helft van de lezers afhaken. Sander Bais, hoogleraar theoretische natuurkunde aan de Universiteit van Amsterdam, doorbreekt in De Natuurwetten dit taboe op ondubbelzinnige wijze. Juist de vergelijkingen, als Iconen van onze kennis, staan centraal in dit bijzonder vormgegeven en binnenkort te verschijnen boek.

Ter gelegenheid van het vijftigste nummer van de Academische Boekengids krijgt u als voorproefje het hoofdstuk over de algemene relativiteitstheorie van Einstein: een dramatisch keerpunt in onze perceptie van de kosmos. Wie daarna trek heeft in nog meer vergelijkingen, kan hier het boek van Bais met een aantrekkelijke korting aanschaffen.

De Natuurwetten gaat over de vergelijkingen die belangrijke keerpunten markeren in ons denken over de natuur. Vanuit de wetten van Newton en van Maxwell stapt Bais over naar de macroscopische vergelijkingen van de thermo- en de hydrodynamica, om vervolgens met de lezer langs de lijnen van de relativiteits- en kwantumtheorie af te dalen naar de wetten die aan de basis staan van de natuurwetenschappen.

De algemene relativiteitstheorie
De Einstein-vergelijkingen

De speciale relativiteitstheorie uit 1905 drukt het besef uit dat de natuurwetten er precies hetzelfde uitzien voor waarnemers die ten opzichte van elkaar met een constante snelheid bewegen en dat de lichtsnelheid voor al die waarnemers gelijk is. De absolute notie van tijd – centraal in de theorie van Newton – bleek niet langer houdbaar, met alle gevolgen van dien. Na deze drastische ingreep vroeg Einstein zich af wat een equivalentie tussen versnelde waarnemers zou betekenen. Die vraag leidde tot een eenzame reis van tien jaar die zou uitmonden in de algemene relativiteitstheorie. Daarin werden de begrippen ‘ruimte’, ‘tijd’ en ‘zwaartekracht’ op een wonderbaarlijke wijze met elkaar verweven.

In de algemene relativiteitstheorie hangt het verschijnsel zwaartekracht direct samen met de kromming van ruimte-tijd. Die kromming wordt veroorzaakt door de aanwezigheid van energie en impuls, in de vorm van materie en straling. In deze radicaal nieuwe kijk vormt de ruimte-tijd niet langer de onveranderlijke arena waarin alle natuurverschijnselen zich afspelen: Einstein bevrijdde haar uit de rol van passieve toeschouwer en maakte haar tot actieve deelnemer aan dynamische fysische processen. De algemene relativiteitstheorie bood een verklaring voor een aantal belangrijke waarnemingen waar Newtons theorie geen antwoord op had en voorspelde daarnaast vreemdsoortige verschijnselen, zoals zwarte gaten. Bovenal leverde zij een totaal nieuw, dynamisch perspectief op het heelal.

We weten allemaal hoe het voelt om in een lift te staan die versnelt. Als je omhoog wordt versneld, voel je je zwaarder; ga je omlaag, dan voel je je lichter. Door op een weegschaal te gaan staan, kun je op een objectieve manier vaststellen dat je versneld wordt. Stel, iemand knipt de liftkabels door, zodat de lift waarin je staat in een vrije val komt. Dan wordt alles in de lift ‘gewichtloos’: als je iets uit je hand zou laten vallen, zou het niet op de vloer vallen, maar ten opzichte van jou in rust blijven. Uit dit kleine gedachte-experiment valt te concluderen dat een relativiteitsbeginsel voor versnelde waarnemers iets met de zwaartekracht te maken moet hebben. Waarnemers in vrije val spelen daarbij een unieke rol, omdat ze gewichtloos zijn en geen zwaartekracht ervaren.

In verband met versnelde waarnemers valt nog iets belangrijks op te merken. Stel je een lichtsignaal voor dat van A naar B gaat. Dit volgt per definitie de kortste weg tussen beide punten – een rechte lijn dus. Maar als we die lijn volgen in het referentiekader van een waarnemer die beweegt met constante versnelling, dan beschrijft het signaal een parabool (een gebogen lijn waarvan de kromming constant is) met een kromming die gegeven wordt door de zwaartekrachtversnelling, ofwel de sterkte van het zwaartekrachtveld. Kortom: de kortste weg is dan gekromd, en dat is bij uitstek het kenmerk van een gekromde ruimte. Einsteins ontdekking kwam neer op een verband tussen versnelling en zwaartekracht enerzijds en tussen versnelling en gekromde ruimte anderzijds. Een verband tussen zwaartekracht en gekromde ruimte was het logisch en onontkoombaar gevolg.


Om ons een gekromde ruimte voor te stellen, is het verhelderend van drie dimensies terug te gaan naar twee. Laten we het oppervlak van een plat vlak vergelijken met het gekromde oppervlak van een bol (zie illustratie). De bol is een oppervlak met een constante kromming, omdat het in elk punt in alle richtingen op dezelfde manier gekromd is: alle punten zijn in meetkundig opzicht gelijkwaardig. Op een bol is de kortste weg tussen twee punten inderdaad gekromd: een segment van de grootste cirkel door die twee punten.

Materie veroorzaakt zwaartekracht. Daaruit concludeerde Einstein dat elke massa – in feite elke vorm van energie – kromming veroorzaakt van de ruimte-tijd in zijn omgeving. In de tweedimensionale analogie zou een massa een ‘kuil’ veroorzaken in de vlakke ruimte, vergelijkbaar met een zware bowlingbal wanneer je die op een schuimrubbermatras legt. De baan van een knikker zou op dat gekromde vlak ook niet langer rechtlijnig zijn als die dicht langs de zware bal zou gaan. Zo kan men zich de afbuiging ten gevolge van de aantrekkingskracht voorstellen als een gevolg van een gekromde ruimte.

De Einstein-vergelijkingen geven een precieze wiskundige beschrijving van de hierboven beschreven verbanden. De kromming R (x,t) en de metriek g (x,t) in het linkerlid specificeren de meetkundige eigenschappen van de ruimte-tijd. In het rechterlid staat het veld T (x,t) dat de energie- en impulsdichtheid van materie en straling beschrijft. De indices en verwijzen naar de ruimte-tijd componenten; ze doorlopen de vier waarden 0, 1, 2 en 3, waarbij de 0 staat voor de tijdscomponent. Het linkerlid van de vergelijkingen legt de meetkundige structuur van de ruimte-tijd vast, terwijl het rechterlid alle informatie bevat over de verdeling van materie en straling. De vergelijkingen doen diepgaande uitspraken over de natuur in de taal van de wiskunde. De term met de zogeheten kosmologische constante kan ofwel links ofwel rechts staan, afhankelijk van onze interpretatie ervan. Enerzijds bepalen materie en straling hoe de ruimte-tijd zich kromt, anderzijds bepaalt de kromming van de ruimte-tijd de zwaartekracht, die weer beïnvloedt hoe deeltjes en straling zich voortplanten.

De belangrijkste consequentie van deze vergelijkingen is misschien wel dat de ruimte-tijd ook in de tijdrichting gekromd kan zijn. Dit betekent dat de ruimte-tijd verandert, ofwel dynamisch is. Zij is niet langer de abstracte, onveranderlijke, zuiver wiskundige arena waarbinnen de natuurkunde zich afspeelt, maar een actieve deelnemer, die op flexibele wijze betrokken is bij fysische processen, net als alle andere dynamische vrijheidsgraden.

Er is nog een andere verhelderende invalshoek op de algemene relativiteitstheorie, die juist niet refereert aan een gekromde ruimte-tijd. Bij onze discussie van elektromagnetisme hebben we gezien dat de wet voor de aantrekking – of afstoting – tussen twee ladingen veel lijkt op Newtons zwaartekrachtwet voor de aantrekking tussen twee massa’s. Maar we zagen daar ook het grote belang van elektrische en magnetische velden, niet slechts als wiskundige abstracties om de krachten tussen ladingen te kunnen berekenen, maar juist als onafhankelijke vrijheidsgraden die zelf energie dragen en moeten voldoen aan de Maxwell-vergelijkingen. Die vergelijkingen hebben oplossingen die overeenkomen met straling die zich voortplant door het vacuüm. Daarmee werd de volgende, beruchte puzzel opgelost.

Stel, je schudt ergens aan een lading. Dan zou je een verandering in het elektrische veld verwachten die een andere lading een eind verderop in beweging kan zetten. Volgens de oude elektrische krachtwet wordt de kracht instantaan overgebracht. Maar uit de Maxwell-vergelijkingen volgt dat de verandering in het veld zich slechts voortplant met de lichtsnelheid – zodat de cruciale notie van causaliteit is veiliggesteld.

Einstein begreep dat bij Newtons zwaartekrachtwet eenzelfde ‘gelijktijdige werking op afstand’ een onacceptabel conceptueel probleem opleverde. Met andere woorden: waar Einstein met de speciale relativiteitstheorie weliswaar het conflict had opgelost tussen Maxwells en Newtons bewegingsvergelijkingen (zeg F = ma), bleef het conflict met Newtons zwaartekrachtwet in wezen bestaan. Om dit op te lossen, moest Einstein een stelsel van vergelijkingen voor het zwaartekrachtveld vinden dat dezelfde rol zou spelen als de Maxwell-vergelijkingen voor het elektromagnetisme. Maar die vergelijkingen konden niet precies hetzelfde zijn, onder meer omdat de zwaartekracht tussen massa’s altijd aantrekkend is, en nooit afstotend. De Einstein-vergelijkingen waren het resultaat. Het feit dat er ook een puur meetkundige interpretatie van die vergelijkingen mogelijk was in termen van een gekromde ruimte-tijd, was vanuit dat perspectief een even onverwachte als schitterende bonus.

Einsteins zwaartekrachttheorie is een van de rijkste vruchten van de theoretische natuurkunde. Ze vormt de heldere belichaming van een cruciaal keerpunt in ons denken over de natuur en leverde een aantal opmerkelijke voorspellingen op die Newtons theorie verre overstegen. De belangrijkste daarvan staan in de zijkolom beschreven. Met een dergelijk indrukwekkende reeks voorspellingen, die door een overvloed aan experimenten is bevestigd, vormt de algemene relativiteitstheorie een van de machtigste conceptuele creaties van de gehele wetenschap.


ZEVEN VOORSPELLINGEN

Perihelium-precessie De kracht tussen twee massa’s, zoals tussen de zon en elk van de planeten, wijkt af van de gravitatiewet van Newton. Deze kracht zorgt ervoor dat de lange as van de ellipsbaan van een planeet niet stilligt in de ruimte, maar zelf héél langzaam om de zon draait. Voor Mercurius, de dichtst bij de zon staande planeet, is de precessie zo’n 43 boogseconden per eeuw, een afwijking die precies overeenkomt met de waarnemingen.

Afbuiging van licht De baan van een lichtsignaal wordt beïnvloed door de kromming van ruimte-tijd (dus door de zwaartekracht) en daarom afgebogen wanneer het een massief object passeert; dat was bij Newton niet zo. Deze voorspelling kon bevestigd worden tijdens de zonsverduistering van 1919. Het licht van nabije sterren dat vlak langs de zon scheerde, werd afgebogen. Daardoor leken die sterren verschoven te zijn ten opzichte van de rest van de sterrenhemel. Een spectaculair voorbeeld van dit gravitationele lenseffect treedt op wanneer we door de kromming van een zeer zwaar object hetzelfde verafgelegen sterrenstelsel diverse malen aan de hemel zien!

Roodverschuiving door de zwaartekracht Licht kan energie krijgen of verliezen in een zwaartekrachtveld. Het licht gaat dan niet sneller of langzamer, maar de frequentie ervan neemt toe (blauwverschuiving) of af (roodverschuiving). Dit effect heeft een belangrijke rol gespeeld bij de ontdekking van de uitdijing van het heelal.

Het uitdijend heelal De wetten die veranderingen in de ruimte-tijd beschrijven, moeten ook gelden voor de ruimte-tijd als geheel. De Einstein-vergelijkingen bepalen dus de dynamica van het heelal. In 1922 publiceerde de Russische wiskundige Aleksandr Friedmann in het Zeitschrift für Physik oplossingen die correspondeerden met een uitdijend heelal. In 1929 deed de Amerikaan Edwin Hubble de grensverleggende ontdekking dat ons heelal daadwerkelijk uitdijt.

Zwaartekrachtstraling De theorie voorspelt het bestaan van zwaartekrachtgolven die worden veroorzaakt door sterke versnellingen van zware massa’s, analoog aan de elektromagnetische golven uit de theorie van Maxwell. Deze voorspelling is niet rechtstreeks experimenteel bevestigd; wel is er overtuigend indirect bewijsmateriaal, namelijk het energieverlies in een binaire pulsar als gevolg van zwaartekrachtstraling. De metingen die inmiddels al meer dan 25 jaar worden verricht, en waarvoor Joseph Taylor en Russell Hulse in 1993 de Nobelprijs voor de natuurkunde ontvingen, komen precies overeen met de berekeningen op basis van de Einstein-vergelijkingen.

Zwarte gaten Deze theorie leverde nóg een grote verrassing op. Er waren eigenaardige oplossingen die ‘zwarte gaten’ genoemd werden – een problematische voorspelling waarin de wetten van de fysica tegen hun eigen grenzen leken aan te lopen. Een zwart gat ontstaat wanneer een zware ster, waarvan alle nucleaire brandstof is verbruikt, ineenstort door zijn eigen zwaarte en een ‘supernova’ vormt. Er zijn inmiddels veel supernova’s waargenomen waarbij het centrale object zoveel massa heeft dat de gebeurtenis alleen begrepen kan worden als de geboorte van een zwart gat. Ook bestaat het sterke vermoeden dat zich in het midden van melkwegstelsels enorme zwarte gaten bevinden die gigantische hoeveelheden sterren verzwelgen.

De kosmologische constante Ten slotte is er de term met de zogenoemde kosmologische constante . Tegenwoordig wordt deze uitgelegd als de energie van het vacuüm, die vreemd genoeg een gravitationele afstoting veroorzaakt. Uit verschillende waarnemingen is komen vast te staan dat, geheel tegen de verwachting in, deze energiesoort dominant is in het heelal, waardoor het heelal versneld uitdijt. Dit onderstreept de theoretische stelregel dat aspecten die niet worden uitgesloten door de principes van de theorie, uiteindelijk onontkoombaar blijken te zijn, en zich dus gewoon voordoen.