FOM jaarboek 1995

Exotische spin en statistiek eigenschappen
in twee dimensies

F. A. Bais
Instituur voor Theoretische Fysica
Universiteit van Amsterdam

Fasefactoren in de quantummechanica

De quantummechanische beschrijving van de fysische toestand waarop een deeltje zich op een bepaald tijdstip bevindt, is niet - zoals in de klassieke fysica - door zijn positie en snelheid te specificeren, maar door de golffunctie $\Psi(x,t)$ te geven. Deze golffunctie is complex, hetgeen betekent dat hij in elk punt door een grootte (absolute waarde) $\vert\Psi\vert$ en een fase factor (een hoek) wordt vastgelegd, d.w.z. door een vector in een tweedimensionaal vlak. De grootheid $P=\vert\Psi\vert^2$ correspondeert met de waarschijnlijkheidsdichtheid om het deeltje ten tijde t op plaats x aan te treffen wanneer deze in de toestand $\Psi$ zit.

De fasefactor is niet direct meetbaar, maar maakt het enerzijds mogelijk om specifiek quantummechanische eigenschappen aan deeltjes toe te kennen en geeft anderzijds aanleiding tot de interferentie effecten (het befaamde dubbele spleet experiment) die de fysische uitdrukking zijn van de deeltje-golf dualiteit. De intrinsieke quantummmechanische eigenschappen die geen klassiek analogon hebben zijn de `spin' of `intrinsiek impulsmoment' en de 'statistiek' van een deeltje. De spin bepaalt hoe de fase van een golffunctie verandert als we het deeltje in de ruimte roteren. De statistiek reflecteert het feit dat in de quantum mechanica identieke deeltjes niet te onderscheiden zijn. De statistiek van een deeltje vertelt ons hoe de golffunctie van een toestand die meerdere identieke deeltjes bevat zich gedraagt onder verwisseling van twee identieke deeltjes. In drie of meer ruimtelijke dimensies is de spin s heel- of halftallig, en de statistiek even of oneven, corresponderend met bosonen en fermionen respectievelijk. Bij de verwisseling van twee identieke fermionen keert de golffunctie van teken om, bij de verwisseling van tweee identieke bosonen verandert er niets. Dit relatieve minteken heeft dramatische gevolgen voor de eigenschappen van systemen die veel identieke deeltjes bevatten, bosonen vinden het leuk om in dezelfde toestand te gaan zitten en kunnen onder bepaalde voorwaarden ``condenseren'', fermionen daarentegen kunnen niet in dezelfde toestand zitten (het uitsluitingsbeginsel van Pauli). Het laatste verklaard bijvoorbeeld de structuur van het periodiek systeem waarbij de verschillende electronen in het atoom bij oplopend atoomnummer meer en meer van de beschikbare toestanden bezetten. De theoretische verklaring van het experimentele verband tussen spin en statistiek is een van de successen van de relativistische quantumveldentheorie.

In twee dimensies ligt de zaak anders, de spin s is niet gequantiseerd en kan in principe elke reële waarde aannemen. Een rotatie van het deeltje over een hoek $\alpha$ resulteerd in een rotatie van de golffuntie ( in het complexe vlak) met een hoek $\alpha s$. Wat betreft de statistiek is de situatie in twee dimensies ook verschillend. Bij het verwisselen van identieke deeltjes kan men linksom dan wel rechtsom verwisselen, en deze beide mogelijkheden zijn in het vlak niet continu in elkaar over te voeren: ze zijn inequivalent. Het is daarom niet langer noodzakelijk dat de verwisselingsoperatie (linksom) hetzelfde effect heeft op de golffunctie als zijn inverse (rechtsom). Anders gezegd, in twee dimensies hoeven twee opeenvolgende verwisselingen de golffunctie niet invariant te laten. Dien tengevolge kunnen we in twee dimensies een continue statistische, periodieke parameter $\theta$ ( $0\leq\theta\leq 2\pi$) introduceren. Waarbij $\theta$ de faseverandering is bij verwisseling van twee deeltjes. De corresponderende deeltjestypen worden generiek anyonen genoemd omdat zij `any phase' kunnen genereren onder verwisseling.

Het Aharonov-Bohm effect

Er is een subtiele generalisatie van het befaamde dubbele spleet experiment, het Aharonov-Bohm effect, waarbij we ons voorstellen dat we een perfect afgeschermde zeer lange solenoïde tussen en parallel aan de spleten plaatsen. Door de stroom in de solenoïde te variëren genereren we een magnetische flux $\Phi$ door de solenoïde parallel aan de spleten. Voor een deeltje met lading q is het extra faseverschil tussen de bijdragen van de verschillende spleten gelijk aan $q\Phi$ , met het gevolg dat het interferentiepatroon verschuift. Dit effect laat zien dat de koppeling aan de vectorpotentiaal $\bf A$ in een veldvrije ruimte (d.w.z. door een deel van de ruimte waar de electrische en magnetische velden nul zijn)in de quantumtheorie toch een waarneembaar effect, n.l. het verschuiven van het interferentiepatroon, kan veroorzaken.

Het A-B effect is in wezen twee dimensionaal, en we kunnen dan een gebonden toestand van een flux $\Phi$ en een lading q beschouwen. Als we dit flux-lading paar over een hoek $2\pi$ in het vlak draaien zodat de beginsituatie terugkeert is de golffunctie veranderd met een fasefactor $e^{iq\Phi}$. (voor een vlakke type II supergeleider hebben we in principe $\Phi=\pi/e$ en q=e zodat de fasefactor -1 kan worden). We kunnen dus aan deze fluxlading combinatie een spin $s=q\Phi /2\pi$ toekennen. Deze zal in het algemeen fractioneel zijn en dat is in twee dimensies inderdaad een coinsistente mogelijkheid. Het zelfde Aharonov-Bohm argument kan nu gebruikt worden om de fasefactor te bepalen die een golffunctie van een systeem met twee gelocaliseerde flux-lading combinaties krijgt, nadat de deeltjes elkaar eenmaal omcirkelen. We vinden voor de combinaties $(q_1\Phi_1)$en $(q_2\Phi_2)$ de fasefactor


$$e^{2i\theta} = e^{i(q_1\Phi_2+q_2\Phi_1)}\,\,\,\, ,$$


zodat we voor identieke paren vinden dat $\theta = q\Phi\,\, mod\,\, 2\pi$. Dat wil zeggen dat ook de statistische parameter $\theta$een willekeurige waarde kan aannemen, we spreken van een anyonen omdat zij 'any phase' kunnen genereren onder verwisseling. Fermionen en bosonen corresponderen dus met het geval $\theta=\pi$ en $\theta=0$. We hebben nu aannemelijk gemaakt dat een flux-lading combinatie inderdaad een realisatie is van een deeltje met fractionele spin en statistiek eigenschappen die voldoen aan het klassieke verband $\theta=2\pi s\,\,mod\,\,2\pi$.

We gaan later in op het feit dat er ook niet-triviale fasefactoren kunnen optreden bij het omcirkelen van niet-identieke deeltjes, en die laten zien dat wat we `statistiek' noemen in het algemeen de manifestatie is van een speciaal soort ' topologische' wisselwerking tussen deeltjes.

We merken op dat het in twee dimensies mogelijk om een zogenaamde Chern-Simons theorie te definieren, dit is een theorie met een ijkveld -een vectorpotentiaal- waarbij de bijbehorende electrische en magnetische velden altijd nul zijn (er zijn dus geen fotonen mee geassocieerd), behalve dan dat het automatisch de eerder geschetse eigenschap realiseert, waarbij aan elke `lading' q een flux $\Phi=q/\mu$ wordt toegevoegd, en $\mu$ een parameter in het model is. De enige fysische manifestatie van deze Chern-Simons potentialen zijn dan Aharonov-Bohm fases, zo'n veld wordt dan ook een topologisch, of statistisch ijkveld genoemd.

Het verband tussen spin en statistiek

Het bewijs voor het verband tussen spin en statistiek is een van de successen van de relativistische quantumveldentheorie, waar het uiteindelijk terug te voeren is op Lorentzinvariantie, localiteit en positiviteit van Hamiltoniaan. In de onderhavige discussie is het verhelderend een alternatief, zeer aanschouwelijk bewijs te geven, gebaseerd op een topologisch argument dat teruggaat naar Finkelstein. Het amusante is dat dit bewijs in feite geen gebruik maakt van de veldentheorie, hoewel we wel aannemen dat er voor elk deeltjestype een type antideeltje bestaat (een toestand met tegengestelde quantumgetallen , zodat deeltje en antideeltje kunnen annihileren in de vacuumtoestand met triviale quantumgetallen). We representeren een deeltje door een pijltje, en de wereldlijn van een deeltje dat zijn pad in de tijd beschrijft wordt dan voorgesteld door een lint, met een gemarkeerde rand (positie van de pijlpunt) waardoor het mogelijk is om een voor- en een achterkant van het lint te onderscheiden. Een antideeltje wordt voorgesteld door het spiegelbeeld van het lint, d.w.z. we verwisselen voor en achterkant maar behouden pijlorientatie, deze voorstelling impliceert dat een gesloten lus van een lint in de ruimtetijd de creatie- en daaropvolgende annihilatie van een deeltje-antideeltje paar voorstelt. Met deze ingrediënten kunnen we ook een rotatie van het deeltje over een hoek $2\pi$ voorstellen door een volle twist van het lint, en vanzelfsprekend ook de verwisseling van identieke deeltjes door twee (identieke) linten te kruisen. Het conventionele verband tussen spin en statistiek is dan de uitspraak dat de twee lintconfiguraties in Figuur 1 topologisch equivalent zijn, dat dit zo is kan men eenvoudig verifiëren met een broekriem. De linkerfiguur beschrijft de creatie van twee paren, de verwisseling van de deeltjes en tot slot de annihilatie van de nieuwe paren. De rechter figuur beschrijft de creatie van een paar, gevolgd door een rotatie van het deeltje over een hoek van $2\pi$, waarna het paar tenslotte weer annihileert. We hebben dus laten zien dat de actie van verwisseling hetzelfde effect heeft als een rotatie over een hoek $2\pi$. We zien trouwens ook dat de spin van een deeltje en antideeltje gelijk moeten zijn, omdat de twist in de rechterfiguur ook naar het antideeltjeslint geschoven kan worden.


 
Figuur 1: Het topologisch argument voor het kanonieke verband tussen spin en statistiek. Het linker lint diagram beschrijft de creatie van twee paren, gevolgt door verwisseling van de identieke deeltjes waarna de nieuwe paren ieder weer annihileren. Dit diagram kan continu veranderd worden het rechter diagram dat de creatie beschrijft van een enkel paar waarna het deeltje (of het antideeltje) gedraaid wordt over $2\pi$ alvorens weer te annihileren. Dit verband kan met een broekriem geverifieerd worden.






Niet-abelse anyonen

In de Amsterdamse theoriegroep is er onderzoek gedaan naar de mogelijkheid om de hierboven beschreven connecties nog verder te generaliseren. En aangezien de fysische realisatie van flux-lading combinaties bepaald niet onrealistisch zijn, is de vraag naar niet-abelse generalisaties interessant. Niet abelse-fluxen doen zich bijvoorbeeld voor in biaxiale nematische kristallen. In het hier beschreven werk wordt een algemene oplossing gegeven voor de situatie waar een niet-abelse ijkgroep gebroken wordt naar een niet-abelse discrete ijkgroep. Er bestaan dan net zoals in de type II supergeleider, stabiele magnetische vortices die nu echter niet-abelse quantumgetallen dragen, hetgeen de situatie aanzienlijk compliceert.

Kenmerkend voor de niet-abelse (d.w.z. niet-commutatieve) ijktheorie is dat de electrische en magnetisch velden - en dus ook de vectorpotentiaal - matrix ( of Lie algebra) waardig zijn, d.w.z. meerdere componenten hebben. Omdat matrices in het algemeen niet commutatief zijn ( d.w.z. dat het matrixproduct AB niet gelijk is aan BA) is de structuur van deze theorieën gecompliceerd. In de theorieën die we beschouwen heeft de magnetische flux en de electrisch lading dus ook meerdere componenten. De Aharonov-Bohm fasefactor - nu de exponent van de Lie algebra waardige vectorpotentiaal - neemt dan (per definitie) een waarde aan in de corresponderende Lie groep. Kort gezegd niet-abelse fluxen corresponderen met niet-commuterende groepselementen die samen een (discrete) groep vormen. We kunnen deze fluxen laten versmelten (`fuseren') waarbij we de corresponderende groepselementen moeten vermenigvuldigen om die van de nieuwe gecombineerde flux te verkrijgen (waarbij de volgorde balangrijk is) (figuur 2a). Een eerste `niet-triviale' fysische consequentie is een effect genaamd fluxmetamorfose, waarbij fluxen van identiteit veranderen als zij om elkaar heen draaien. Uit figuur 2b volgt dat wanneer we flux A en Bverwisselen de corresponderende groeps elementen moeten voldoen aan de relatie $g_A g_B=g_B^\prime g_A$, zodat $g_B^\prime= g_Ag_Bg_A^{-1}$. Als g_A en g_B niet commuteren is dus $g_B^\prime\ne g_B$. Dit laat zien dat deze fluxen een topologische wisselwerking met elkaar hebben, die aanleiding geeft tot een niet-abels Aharonov-Bohm effect.

Figuur 2 (afwezig): Niet abelse fluxen. Het samengaan of fuseren van twee fluxen (2a) en de eigenschap van fluxmetamorfose (2b).

Een tweede complicatie heeft te maken met de beschrijving van de electrische ladingen en de restricties welke er bestaan op de mogelijke flux-lading combinaties. Je kunt bewijzen dat alleen die ladingen met een gegeven flux een paar kunnen vormen, als de met de lading corresponderende matrix commuteert met de flux matrix. De ladingen vormen aldus representaties van een specifieke ondergroep van de oorspronkelijke groep die door alle fluxen wordt gevormd.

Het probleem in zijn algemeenheid is nu om een taal te vinden waarin de vragen over spin, statistiek, fusie , Aharonov-Bohm effecten bij verstrooing, en de introductie van niet-abelse Chern-Simons interacties, van de hier gedefinieerde niet abelse flux-lading combinaties systematisch te beantwoorden zijn. Dit probleem kon inderdaad volledig worden opgelost, mede omdat een nieuw soort onderliggende symmetrie ontdekt werd. Deze symmetrie is een zogenaamde quantumgroep, een soort verdubbeling van de groep die door de fluxen wordt gegenereerd.

De situatie die ontstaat is dat alle fluxen, ladingen en mogelijke combinaties daarvan, alle irreducibele representaties van de quantumgroep vormen. Eén zo'n representatie kan dus meerdere fluxen en ladingen kan bevatten zoals je in een niet abelse theorie verwacht, aangezien matrices graag werken op vectoren. De toestanden kunnen we beschrijven als $\vert^AC,\alpha>$ waarbij ^AC voor de fluxen staat en $\alpha$ voor de bijbehorende ladingen. Voor zo'n gegeven representatie kunnen we een unieke spinfactor $s_A^\alpha$ bepalen, deze zijn vaak fractioneel.

Er is een tensorrekening om flux-lading combinaties mee te `fuseren', die doet denken aan het optellen van impulsmomenten in de gewone quantummechanica. Deze heeft de vorm :


$$\vert^AC,\alpha>\otimes \vert^BC,\beta>= \sum_{C,\gamma} N_{AB\gamma}^{\alpha\beta C}\,\,\,\, \vert^CC,\gamma>$$


waarbij de constanten $N_{AB\gamma}^{\alpha\beta C}$ bepalen welke representaties er in het fusieprodukt voorkomen en met welke multipliciteit.

Om de vraag naar de statistiek te beantwoorden, blijkt de `lint representatie' wederom zeer nuttig te zijn. De statistiek, d.w.z. de fasefactor die men verkrijgt wanneer twee deeltjes (representaties dus) elkaar omcirkelen, of die het gevolg is van het verwisselen van twee identieke representaties, ligt niet voor de hand en blijkt nu direct af te hangen van het fusiekanaal waar deze zich in bevinden. De factor volgt uit het lintdiagram van figuur 3, dat een gegeneraliseerde spin-statistiek connectie weergeeft. Het met de klok mee omcirkelen van $\vert^AC,\alpha>$ met $\vert^BC,\beta>$ die samen in een toestand $\vert^CC,\gamma>$ zitten geeft een factor $\exp i(s_C^\gamma- s_A^\alpha -s_B^\beta)$. Het conventionele verband tussen spin en statistiek vinden we terug in de bovenstaande situatie waarbij we een deeltje en antideeltje in het vacuumkanaal laten fuseren.




 
Figuur 3: Het gegeneraliseerde verband tussen spin en statistiek. Wanneer twee flux-lading combinaties elkaar in een gegeven fusie kanaal omcirkelen (linker afbeelding), is dat topologisch equivalent aan een operatie waarbij ieder van die deeltjes over een hoek $-2\pi$en het gefuseerde deeltje over een hoek $2\pi$ wordt gedraaid (rechter afbeelding). Voor directe verificatie is een broek met lange pijpen voldoende.




Met het kennen van de geëigende representaties, de tensorproduct of fusie regels voor die representaties, en de vlechteigenschappen (verwisselingsrelaties), blijkt een elegante formulering van elk fysisch probleem aangaande deze niet-abelse anyonen te bestaan. Waarbij we denken aan verstrooiings processen maar ook aan fraaie variaties op het thema van Einstein-Rosen-Podolski.

Toepassingen van de hier ontwikkelde technieken liggen voor de hand in alle situaties waar collectieve excitaties (zoals defecten) topologische wisselwerkingen met elkaar hebben, en dat is het geval wanneer een medium in een fase met gebroken symmetrie zit. In drie dimensies gaat het dan vaak over dyonen (dragers van zowel electrische als magnetische lading) en in twee dimensies over gecombineerde flux-lading dragers. Deze spelen een belangrijke rol in het fractionele quantum Hall effect. Een intrigerende suggestie die van dit onderzoek uitgaat is dat het verschil tussen fermionen en bosonen hebben uiteindelijk een geometrische oorsprong heeft. Buitengewoon interessant zijn ook de situaties waarbij de residuele, ongebroken symmetriegroep van het medium niet-abels is. Dit is het geval in diverse fasen van superfluide Helium, nematische fasen van vloeibare kristallen, (2+1)-dimensionale gravitatie, Alice electrodynamica (in 2 en 3 dimensies) enz. De hier beschreven methoden kunnen ook een rol spelen in de formulering van zogenaamde electrisch-magnetische dualiteiten in de veldentheorie, d.w.z. de afbeelding van theorieën op elkaar of zichzelf, onder verwisseling van de magnetische en electrische eigenschappen van de theorie.