Symmetrieën
Een symmetrie legt extra beperkingen op aan een model waardoor het beter
(of zelfs exact) oplosbaar wordt. Ons begrip van symmetrie heeft zich in
de loop van de tijd steeds verder verruimt en verdiept. De breking, de
locale ijking of deformatie van nieuwe symmetrieën, kan onverwachte
fysica in beeld brengen.
In de hoge energiefysica is het wachten op nieuwe onderliggende of overkoepelende
ijksymmetrieën en wellicht supersymmetrie.
Ook het idee van (gebroken) schaalinvariantie , dat ten grondslag ligt
aan de buitengewoon succesvolle renormalisatiegroep methode (gerelateerd
aan de universele schalingswetten waaraan correlatiefuncties en quantumamplituden
asymptotisch voldoen, de zogenaamde kritieke exponenten, maar ook de noties
van `asymptotische vrijheid' en `dimensionele transmutatie'). blijft van
groot belang.
Deze invariantie staat ook centraal in de 2-dimensionale conforme veldentheorie.
Deze theorieën duiken op in de snaartheorieën van de fundamentele
wisselwerkingen, de theorie van solitonen, en de theorie van 2-dimensionale
kritieke verschijnselen. Ze is bruikbaar in tal van problemen in de gecondenseerde
materie. Van zeer recente datum is de exacte oplossing van het Multi- Channel
Kondo effect, de beschrijving van de drastische invloed die onzuiverheden
in metalen hebben en die aanleiding geeft tot een `non-Fermi-liquid' gedrag.
Een gedrag dat ook relevant kan zijn voor zware fermion systemen.
Een zaak die zeker verdere studie verdient is de diepe suggestie dat
n-punts correlatiefuncties van conforme veldentheorieën op hun beurt
weer corresponderen met n-soliton oplossingen van integreerbare niet-lineaire
evolutievergelijkingen, d.w.z. vergelijkingen van het Korteweg de Vries
type.
Er zijn belangrijke generalisaties van conforme symmetrie zoals de oneindig
dimensionale Lie algebra's (Kac-Moody), Niet-lineaire W-symmetrieën,
Yangians, en quantumgroepen. Deze liggen ten grondslag aan de oplosbaarheid
van een breed scala van laagdimensionale veldentheoretische modellen waarover
staks meer.
begin
Gebroken symmetrie en topologische defecten
Symmetrieën zijn vaak verborgen, omdat de oplossing die de natuur
realiseert de symmetrie breekt. Een belangrijke fysische manifestatie van
gebroken symmetrie is het bestaan van topologische defecten, dit zijn stabiele,
collectieve excitaties (fluxbuizen, monopolen, vortices, textures, skyrmions
enzovoorts). De studie van deze topologische excitaties, hun quantumgetallen,
hun formatie en wisselwerkingen staat nog in de kinderschoenen. Topologische
defecten corresponderen met solitonoplossingen in de veldentheorie. Het
vermoeden bestaat dat ook hier een nieuw symmetrieconcept, namelijk dat
van de quantumgroep, een belangrijke rol zal gaan spelen. De reden is dat
de representaties van een quantumgroep de topologische en niet-topologische
quantumgetallen onder één noemer brengen.
begin
Exact oplosbare modellen
Er ligt een enorme hoeveelheid kennis opgeslagen in exact oplosbare
modellen en veldentheorieën. Het feit dat deze alleen in lage dimensies
voorhanden zijn, betekent niet dat zij geen toepassingen in hoger dimensionale
fysische systemen kunnen hebben. Er zijn situaties waar de fysische omstandigheden
de dimensionaliteit effectief verlagen. Dit is bijvoorbeeld het geval in
het (fractionele) quantum Hall effect, waar we te doen hebben met een incompressibele
quantumvloeistof zodat alleen randstromen het gedrag bepalen, of zoals
in de eerder genoemde `impurity problems' ( het Rubakov-Callan effect,
het Kondo effect) waarbij alleen bepaalde partiële golven de fysica
bepalen en het probleem reduceert tot een oplosbare eendimensionale veldentheorie
op een halflijn. Soortgelijke modellen kunnen ook een nieuw licht werpen
op de quantum fysica van zwarte gaten.
begin
Topologische vrijheidsgraden
Er zijn (2+1)-dimensionale theorieën (van het Chern-Simons type)
die puur topologisch zijn. Wanneer deze aan niet-topologische vrijheidsgraden
worden gekoppeld, induceren zij topologische wisselwerkingen tussen de
deeltjes welke aanleiding geven tot generalisaties van het Aharonov-Bohm
effect (zoals `frame dragging' in vloeibare kristallen) en de mogelijkheid
van fractionele spin en statistiek eigenschappen (anyonen). Twee dimensionale
gravitatie is een bijzonder model van dit type, dat ook in bepaalde (ruimtelijk
geordende ) fasen van supervloeibaar helium zijn toepassingen kan hebben.
Deze topologische interactietermen kunnen in de oppervlakte fysica tevoorschijn
komen, wanneer het effect van fermionen (in de bulk) wordt uitgeïntegreerd,
en zijn dus minder esoterisch en vergezocht dan men wel zou denken.
begin
Dualiteit
Dualiteiten zijn een belangrijk middel om een fysisch model mee te analyseren.
Ik doel hier op dualiteiten van het Kramers-Wannier type. Dit soort van
symmetrieën beelden verschillende dynamische regimes van een model
af op andere regimes van hetzelfde of een ander model. Bijvoorbeeld het
hoge temperatuur gedrag wordt afgebeeld op het lage temperatuurgedrag van
hetzelfde model, waarbij vrijheidsgraden van rol verwisselen. Of, het sterke
koppelings gedrag van de ene theorie wordt afgebeeld op het zwakke koppelings
gedrag van een andere. Dit levert mogelijkheden voor een niet-perturbatieve
aanpak in de veldentheorie hetgeen legio toepassingen garandeert. Er zijn
op dit moment veelbelovende ontwikkelingen in hogere dimensies met name
de electrisch-magnetische dualiteiten in d=4 supersymmetrische ijktheorieën
en zelfs recentelijk ook in d=10 supersnaar theorieën. Het bestaan
van deze symmetrieën kan leiden tot de spectaculaire ontdekking van
exact oplosbare vierdimensionale velden theorieën met niet-triviale
wisselwerkingen, en heeft reeds geleid tot belangrijke resultaten in de
zuivere wiskunde (betreffende de topologie van vierdimensionale variëteiten).
begin
Quantumgravitatie
Op het niveau van de Plancklengte ( 
) vindt de confrontatie tussen algemene relativiteitstheorie en quantummechanica
plaats. Welke relatie is er tussen de postulaten van de quantummechanica
en de ultieme dynamische structuur van onze ruimtetijd? Hier ligt een sleutel
tot belangrijke nieuwe inzichten. Vinden we het `waarom' van de quantummechanica?
Zal de ruimte tijd bijvoorbeeld botweg discreet blijken te zijn, of komen
we in een regime waar nieuwe onderliggende vrijheidsgraden zoals supersnaren
tevoorschijn komen? Wat betekent de oerknal? Wat is het ultieme lot van
verdampende zwarte gaten: lekt daar wellicht informatie weg in de oerknal
van een nieuw universum dat van ons loskoppelt. Een ander universum dat
zomaar een deel van onze Hilbertruimte meepikt! Waarom is de cosmologische
constante nul, terwijl we weten dat het vroege heelal door talrijke faseovergangen
is gegaan? Is supersymmetrie noodzakelijk voor de uiteindelijke consistentie
van het model, of is die zelf ook weer het gevolg van een onderliggende
topologische structuur of dynamica die fermionische en bosonische excitaties
genereert? Waar komt de baryon asymmetrie vandaan? Is de dimensionaliteit
d=4 uitkomst van een onderliggende dynamyca en geeft die ook antwoord
op het `waarom' van de waargenomen interne ijksymmetrieën van het
standaardmodel?
begin
Snarenspel als toekomstmuziek
Tenslotte het enigma van de snaartheorie. De fysische vraagstelling
is van een ontwapenende eenvoud: maak een model voor een relativistisch
snaar dat consistent is met de quantummechanica. Het resulterende model
bevat een duizelingwekkende mengeling van alles wat we ooit zijn tegengekomen,
ijkinvariantie, het equivalentie principe, supersymmetrie, compactificatie
à la Kaluza Klein, conforme invariantie, modulaire invariantie ,
duale symmetrieën, quantumgroepen, fractale dimensies. Wat al onze
inspanningen tot nog toe suggereren is dat we slechts een tipje van de
sluier hebben mogen oplichten, en dat dit model de compacte uitdrukking
is van een onbekend fysisch of wiskundig principe. Hier ligt een stevige
kluif, en wie weet, snappen we er over 25 jaar meer van.
begin