Algebra I: groepentheorie

Vakbeschrijving

In deze cursus bestuderen we algebraische structuren, in het bijzonder groepen. We laten zien hoe het begrip groep orde schept in een veelheid van situaties. We gaan dieper in op de structuur van groepen en er zullen ook diverse toepassingen aan de orde komen. De vereiste voorkennis is het vak Basiswiskunde (5122BASI6Y). Het vak Algebra 1 wordt als voorkennis gebruikt voor Algebra 2, Representatietheorie, Topologie en Galoistheorie.

Leerdoelen

  1. Groepen
    1. De definitie van een groep formuleren en checken of een gegeven object een groep is.
    2. De symmetriegroep van eenvoudige objecten beschrijven.
    3. Een vermenigvuldigingstabel van een groep opstellen.
  2. Ondergroepen en normaaldelers
    1. De definitie van een ondergroep formuleren en checken of een gegeven deelverzameling een ondergroep is.
    2. Conjugatieklassen van elementen bepalen.
    3. Nagaan of een bepaalde deelgroep een normaaldeler is.
  3. Groepsmorfismen
    1. De definitie van een groepsmorfisme formuleren en checken of een gegeven afbeelding een morfisme is.
    2. De kern en het beeld van een groepsmorfisme berekenen.
    3. Het quotient van een normaaldeler construeren.
    4. De isomorfiestellingen formuleren, bewijzen en toepassen in eenvoudige gevallen.
  4. Groepswerkingen en symmetrische groepen
    1. De definitie van een groepswerking formuleren en checken of een gegeven deelverzameling een groepswerking is.
    2. Werken met permutaties en de cykelnotatie.
    3. De banen van een groepswerking bepalen.
    4. De banentelstelling formuleren, bewijzen en toepassen in eenvoudige gevallen.
  5. De structuur van groepen
    1. het direct en semidirect product van twee groepen construeren
    2. Nagaan of een groep een direct of semidirect product is.
    3. De classificatie van eindige abelse groepen formuleren en toepassen op groepen van een bepaalde orde.
    4. Schetsen hoe de structuur van eindige groepen in elkaar zit en welke de moeilijkheden zijn om een volledige oplossing van dit probleem te vinden.
  6. Overkoepelende leerdoelen
    1. Oefeningen oplossen die het verband leggen tussen de verschillende concepten uit de cursus.
    2. Een detailbeschrijving geven van een eenvoudige groep.
    3. Bewijsmethoden uit de cursus aanpassen in nieuwe contexten.
    4. Groepentheorie kunnen gebruiken in problemen uit de realiteit (puzzels, symmetrien, kunst)

Onderwijsvormen

Elke week zijn er 2 lesuren hoorcollege en 2 lesuren werkcollege. In de hoorcolleges wordt de theorie gegeven en voorbeelden classicaal uitgewerkt. Tijdens het werkcollege gaan jullie zelf aan de slag met de oefeningen uit de cursus. Er is ook elke week 2 uur tutoraat voorzien. Het doel van het tutoraat is het aanleren van de juiste studiehouding: samenwerken, werkcollege voorbereiden.

Aanwezigheid

Aanwezigheid bij de hoorcolleges wordt sterk aanbevolen. Voor de werkcolleges en de tutoraatbijeenkomsten van jaar 1 en 2 geldt een verplichte aanwezigheid. Als je bij minder dan 80\% van de werkcolleges en/of tutoraatbijeenkomsten bent geweest, dan vervalt je recht op het hertentamen.

Opdrachten

Elke week worden huiswerkopdrachten opgegeven die je schriftelijk moet inleveren bij het volgende werkcollege. Er is ook een doorlopende opdracht waarbij elke student alle behandelde concepten toepast op een gepersonalizeerd voorbeeld. Deze opdracht wordt gemaakt op de computer. Tijdens het eerste hoorcollege wordt deze opdracht in detail besproken.

Academische vorming en vaardigheden

Geziene concepten toepassen op een nieuwe situatie. Dit wordt getoetst door een de doorlopende opdracht (zie hierboven) en op het tentamen.

Literatuur

Voor deze cursus gebruiken we de Syllabus Algebra 1 van H. Lenstra en F. Oort. Vorige jaren werd de De Syllabus Algebra 1 van G. Van der Geer gebruikt. Deze is nog steeds interessant referentiemateriaal.

Rooster en opbouw vak

Voor meer practische informatie zie datanose Er zijn 13 hoorcolleges van 2 lesuren daarin komen de volgende onderwerpen aan bod. Elk onderwerp komt min of meer overeen met een lesweek en er zijn drie extra lesweken ingebouwd als buffer.
  1. Inleiding, motivatie, het concept groep
  2. Ondergroepen en homomorfismen
  3. Permutatiegroepen
  4. Werkingen van groepen
  5. Voortbrengers, orde en index
  6. Normaaldelers en quotientgroepen
  7. Isomorfiestellingen
  8. Automorfismen en semidirecte producten
  9. De structuur van eindige groepen: een overzicht
  10. Meetkunde en groepentheorie

Toetsing

Onderdeel Deadline Weging Herkansing
Doorlopende opdracht 25/05/15 5% Blijft staan
Huiswerkopgaven Voor het volgende werkcollege 15% Blijft staan
Tussentoets 25/03/15 30\% Vervalt bij herkansing
Eindtentamen 26/05/15 50\% Vervalt bij herkansing
Herkansing 29/06/15 80\%
  • De tussentoets behandelt de stof van de eerste 6 hoorcolleges. Voor het eindtentamen moet je de hele syllabus kennen, dus ook de stof die reeds getoetst werd in de tussentoets.
  • Zowel voor de tussentoets als het eindtentamen zal er als oefenmateriaal een voorbeeldtoets op blackboard gezet.
  • Wie als eindcijfer geen 6 heeft moet de herkansing doen. De herkansing behandelt alle geziene leerstof en staat op 80\% van de punten. De punten behaald op de oefeningen en de doorlopende opdracht blijven staan.

Fraude en plagiaat

Dit vak hanteert de algemene Fraude- en plagiaatregeling van de UvA.

Honoursprogramma

Op dit vak is een honoursuitbreiding van 3 EC mogelijk. Om aan de honoursuitbreiding deel te nemen moet je 8 of meer halen op de tussentoets. Na de tussentoets wordt er meer informatie gegeven over de honoursuitbreiding en kan je je hiervoor inschrijven.

Aanmelding en aanvullende informatie

Dit vak heeft een Blackboardsite. Hier vind je de noodzakelijke aanvullende informatie, zoals de groepsindeling van de werkcolleges, de opdrachten. Bekijk de Blackboardsite dus met regelmaat.

Contactinformatie

  • Coordinator/Hoorcollegedocent
    Raf Bocklandt
    Science Park 105-107, Kamer F3.13
    Tel.nr : (+31 20 525) 6553
    E-mail : raf.bocklandt"at"gmail.com
  • Werkcollegedocenten
    Arie Blom, Sam van den Brink, Danilo Lewanski, Bart Litjens
  • Tutoraat
    Lucas Slot, Hanneke Wiersema, Lewis Zwart