Roland van der Veen in de verdediging

Pas gepromoveerden brengen hun werk onder de aandacht.

Redacteur: Geertje Hek
G.M.Hek at uva.nl

Eerder verschenen in Nieuw Archief voor Wiskunde, december 2010, pp.287-288.

Asymptotics of quantum spin networks
Roland van der Veen

Op 10 september 2010 vond er een bijzondere promotie plaats aan de Universiteit van Amsterdam. Eigenlijk was het niet zozeer de promotie zelf, maar het lekenpraatje dat eraan voorafging dat bijzonder was. Op een choreografie van eigen hand beeldde kandidaat Roland van der Veen zijn promotieonderwerp uit: al dansend bracht hij met zijn twee paranimfen de knopen uit zijn proefschrift tot leven. “De ultieme uitdaging”, noemde Van der Veen dit een paar weken van tevoren. “Ik dans al tien jaar, maar zo iets doe je maar een keer.”

1. Knopen door een natuurkundige bril
Onder begeleiding van Eric Opdam (UvA) en Stavros Garoufalidis (Georgia Tech) werkte Van der Veen aan knopen. In de knopentheorie bestudeert men de wiskundige eigenschappen van knopen zoals je die elke dag in je veters maakt. Wat is bijvoorbeeld het verschil tussen de platte knoop en de oudewijvenknoop? En hoeveel verschillende knopen bestaan er eigenlijk? Het onderzoek van Van der Veen slaat een brug tussen twee zeer verschillende manieren om knopen te bestuderen.
         De titel van zijn proefschrift, Asymptotics of quantum spin networks doet enigszins fysisch aan, maar het gaat toch echt om wiskunde. Dat neemt niet weg dat een natuurkundige bril geen overbodige luxe is als je de twee methoden waarop hij knopen bestudeert probeert te begrijpen.
         In de eerste interpretatie worden knopen opgevat als zwarte gaten in een eenvoudig universum. Uit de manier waarop licht wordt afgebogen kan veel worden opgemaakt over de knoop zelf. Een centraal resultaat in dit gebied is het recente bewijs door G. Perelman van het vermoeden van Poincaré. Hieruit volgt dat het universum dat bij de knoop hoort een eindige inhoud heeft en dat dit getal belangrijke informatie over de knoop geeft.
         De tweede manier waarop Van der Veen naar knopen kijkt, is door ze te zien als de geschiedenis van een aantal botsende deeltjes. De wetten van de kwantummechanica vertellen hoe de kans moeten worden berekend dat een aantal deeltjes precies zo botsen als het plaatje van de knoop voorstelt. Zo kan dus opnieuw aan elke knoop een getal worden toegekend waarin de essentie van de knoop is samengevat.

2. Volume conjecture
Maar hoe hangen deze interpretaties precies samen? Is er een brug die hen verbindt? Een belangrijke stap in de richting van een antwoord op deze vraag is vijftien jaar geleden gezet door R. Kashaev. Hij vermoedde dat de twee getallen hierboven exact gelijk zijn. Dus de inhoud van het universum dat hoort bij de knoop, is volgens hem precies gelijk aan de kans dat de knoop optreedt als kwantummechanische geschiedenis! Het vermoeden van Kashaev staat nu bekend als het volume conjecture en het verifiëren ervan is een van de grootste onopgeloste problemen in het vakgebied van Van der Veen. Te meer omdat het waarschijnlijk het topje van een ijsberg aan nieuwe vondsten is.
Het doel van Van der Veens promotieonderzoek was, om technieken te ontwikkelen om het volume conjecture te bewijzen en in een context te plaatsen. De titel Asymptotics of quantum spin networks refereert aan de gevonden context. Het belangrijkste resultaat is zijn bewijs voor het werkelijk bestaan van de hierboven beschreven brug. Voor een belangrijk deel van alle knopen heeft hij de correctheid van deze relatie wiskundig bewezen: aan iedere knoop kan een aantal ringen worden toegevoegd zodat het volume conjecture waar is voor de nieuwe knoop. Het mooie van het bewijs vindt hij dat het vrij transparant is: dezelfde plaatjes berekenen zowel de inhoud van de knoop als de kans in de kwantumwereld. Daarom zijn de twee noodzakelijk gelijk.
Verder heeft hij technieken ontwikkeld om de brug te verbreden, door niet alleen naar knopen te kijken maar ook naar geknoopte netwerken: de kwantum-spin-netwerken uit de titel van zijn proefschrift en hun bijbehorende klassieke limieten. Hoewel in zekere zin dus succesvol, zijn zijn technieken echter verre van toereikend gebleken om een denitief antwoord te geven op de vraag of het volume conjecture waar is of niet. Van der Veens case study van de knopen met volume 0 laat de beperkingen van de gebruikte technieken zien. Zijn verwachting is dat het vermoeden voor de komende generatie wiskundigen een onbereikbaar maar inspirerend doel blijft.

3. De tekening is de berekening
Op de vraag of hij stellingen bij zijn proefschrift had is het antwoord ‘nee’. Maar hij geeft wel een stelling die zijn onderzoek en visie op de wiskunde bondig samenvat: De tekening is de berekening.
“Dezelfde plaatjes berekenen zowel de inhoud van de knoop als de kans in de kwantumwereld.” De oplettende lezer zal deze zin hierboven niet zijn ontgaan. Van der Veen vertelt: “Rekenen en tekenen komen heel dicht bij elkaar wanneer we knopen bestuderen. Dit komt, omdat we met behulp van een plaatje aan iedere knoop een waarde kunnen toekennen. Deze waarde is het zogenaamde Jones-polynoom. Oorspronkelijk waren de tekeningen bedoeld als geheugensteun bij ingewikkelde berekeningen, maar gaandeweg zijn de rollen omgedraaid. De tekening is de berekening.”

De tekening is de berekening

Jan van de Craats

Epsilon-boek Riemann-hypothese

4. Aha-erlebnissen en Nescio
Het leven als aio beviel Van der Veen erg goed. De vrijheid om precies te doen wat je zelf mooi en belangrijk lijkt, vind je volgens hem in geen enkele andere baan. De conferenties in het buitenland waren een hoogtepunt. “Er gaat niets boven het samen verzinnen van onmogelijke fantastische luchtkastelen. Bovendien vind ik het prachtig hoe je via de wiskunde kunt communiceren met mensen uit totaal andere culturen.” Ze waren ook een hoogtepunt om andere redenen. Hij herinnert zich nog goed het moment waarop hij in zijn hotelkamer in Aarhus plotseling zag dat de diagrammen uit twee totaal verschillende artikelen precies hetzelfde voorstelden. Hij werd wakker om een uur of twee ’s nachts, deed het licht aan en keek nog eens naar het artikel waarboven hij in slaap gevallen was. Toen was het direct duidelijk.
Op de terugweg van dezelfde conferentie ontmoette hij ook Stavros Garoufalidis die later zijn copromotor zou worden. Op een haar na haalde hij de bus naar het vliegveld, hij kwam naast hem te zitten en zo raakten ze al snel in gesprek over kwantum-spin-netwerken. Twee van de vijf artikelen uit zijn proefschrift zijn rechtstreeks voortgekomen uit deze conversatie. Ook mooi was het om een voordracht te geven op een grote conferentie in New York, waar hij vier jaar eerder als masterstudent ook was geweest. Daar was het allemaal begonnen, mooi dat die cirkel nu rond was. Hij kan een nog hele rits hoogtepunten noemen, maar kende toch ook minder gelukkige momenten. Het moeilijkste moment was toen hij zich na maanden werk realiseerde dat zijn oplossing van het probleem waarmee hij worstelde gebaseerd was op een misvatting. Op dat moment fietste hij naar zijn ouders over de Nescio brug in Amsterdam. Het was alsof de brug instortte. Een omgekeerde Aha-erlebnis.

5. Webklassen
Naast zijn onderzoek gaf Van der Veen natuurlijk ook onderwijs èn was hij samen met Jan van de Craats de drijvende kracht achter de UvA webklas ‘De Riemann-hypothese; een miljoenenprobleem‘ voor in wiskunde geïnteresseerde vwo-leerlingen. Vlak voor zijn promotie rondden hij en Van de Craats een boek over de Riemann-hypothese af dat is gebaseerd op vier jaar webklassen. Ze hopen dat het werk in boekvorm nog meer mensen enthousiast kan maken voor de wiskunde.
Op het moment van verschijnen van dit interview zit Van der Veen al lang en breed in Berkeley, waar hij met behulp van zijn NWO Rubicon subsidie twee jaar aan vervolgonderzoek kan werken. En hopelijk ook zal blijven dansen, luchtkastelen bouwen en anderen enthousiasmeren!