Liegroepen i.v.m. E8

De wiskunde van Liegroepen i.v.m. superberekening aan E8

aanvulling bij:   Superberekening aan E8 (door Alex van den Brandhof op Kennislink)
auteur:  Tom Koornwinder
doelgroep:  lezers met enige algemene wiskundige ontwikkeling

Groepen

Een (abstracte) groep is een verzameling G waarin een vermenigvuldiging, een invers en een eenheidselement gedefinieerd zijn:

voor elk tweetal elementen a en b in G is er een element a.b in G;
voor elk element a in G is er een element a^-1 in G;
er is een element e in G.

Deze moeten aan de volgende eigenschappen voldoen:

(a.b).c=a.(b.c) (associativieit);
a.e=a=e.a;
a.a^-1=e=a^-1.a.

Een abstracte groep G kan vaak gerealiseerd worden als een transformatiegroep van een andere verzameling X. Dan bestaat G uit alle transformaties van X die bepaalde structuureigenschappen van X invariant laten. Het product a.b van twee transformaties van X werkt op X als eerst de transformatie b toepassen gevolgd door de transformatie a. Het eenheidselement e werkt als de transformatie van X die alles op zijn plaats laat. De inverse a^-1 werkt als de transformatie van X die elk punt weer terugstuurt naar het punt waar het onder de transformatie a vandaan is gekomen.
Bijvoorbeeld de dihedrale groep D₄ van 8 elementen is de groep van alle transformaties (draaiingen en spiegelingen) die een vierkant op zichzelf overvoeren.
Een ander voorbeeld is de groep SO(2) van alle draaiingen van een cirkel.
Een groep kan abels of niet-abels zijn. In een abelse groep geldt altijd dat a.b=b.a, zie bijv. SO(2). Maar D₄ is niet-abels.
Twee belangrijke klassen van groepen zijn de eindige groepen en de Lie-groepen. Eindige groepen, zoals D₄, zijn in zekere zin eenvoudig door hun eindigheid, maar kunnen toch een heel gecompliceerde structuur hebben, en daarbij ook nog ontzettend groot. Zie bijv. de monstergroep met 808017424794512875886459904961710757005754368000000000 elementen.

Liegroepen

Liegroepen hebben een continue structuur. Een Liegroep G is tegelijk een groep en een differentieerbare variëteit zo dat het product a.b van twee elementen van G differentieerbaar van a en b afhangt. Een differentieerbare variëteit van zekere dimensie n is in een voldoende kleine omgeving van elk van zijn punten gewoon een stukje Euclidische ruimte van dimensie n, maar in het groot wijkt hij doorgaans af van de Euclidische ruimte. Neem bijvoorbeeld de aarde als boloppervlak. In je directe omgeving lijkt de aarde een stukje plat vlak, maar als je alsmaar rechtdoor reist dan keer je weer op je uitgangspunt terug.
De groep SO(2) is duidelijk een voorbeeld van een Liegroep, waarbij een draaiing bepaald wordt door de hoek φ waarover gedraaid wordt, en het product van draaiingen over hoeken φ en ψ een draaiing geeeft over een hoek φ+ψ, wat differentieerbaar afhangt van φ en ψ.
Een interessanter voorbeeld van een Liegroep vormt de groep SO(3) van alle draaiingen van een boloppervlak.. Deze groep is niet-abels. Een handige manier om SO(3) te beschrijven is door middel van 3×3 orthogonale matrices van determinant 1. Dit zijn 3×3 arrays van reële getallen die je samengesteld kunt denken uit drie 3-dimensionale kolomvectoren u,v,w. Dan moeten de vectoren u,v,w lengte 1 hebben, ze moeten loodrecht op elkaar staan, en u,v,w moeten dezelfde oriëntatie hebben als de vectoren (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). De vermenigvuldiging in de groep komt nu neer op matrixvermenigvuldiging.
Je kunt iets soortgelijks in dimensie n doen, en krijgt dan de draaiingsgroep SO(n) of, als je ook spiegelingen toelaat, de orthogonale groep O(n).
Alle inverteerbare n×n matrices vormen ook een groep onder matrixvermenigvuldiging. Deze wordt GL(n,R) genoemd. Het is de groep van alle inverteerbare lineaire transformaties van de n-dimensionale vectorruimte Rⁿ. De groep GL(n,R) heeft n² coördinaten, de n² reële getallen die een n×n matrix vormen. Zo beschouwd is GL(n,R) een stuk van de n²-dimensionale vectorruimte, maar niet die hele ruimte omdat de matrix inverteerbaar moet zijn (dus zijn determinant niet 0 mag zijn). GL(n,R) is een open deelverzameling van de n²-dimensionale vectorruimte. Zo wordt GL(n,R) een (hele makkelijke) n²-dimensionale differentieerbare variëteit, en daarmee een Liegroep. (Hier gebruikten we open in de topologische zin, en zullen dat dadelijk ook met gesloten doen.)
De Liegroep SO(n) kan worden opgevat als een ondergroep van GL(n,R): een deelverzameling van GL(n,R) zo dat het product van twee elementen en de inverse van een element weer in die deelverzameling zitten. Als deelverzameling blijkt SO(n) ook gesloten te zijn, en bovendien een n(n-1)/2-dimensionale deelvariëteit: in een omgeving van elk punt van SO(n) kan SO(n) met n(n-1)/2 coördinaten beschreven worden. Bovendien is SO(n) een begrensde deelverzameling van de n²-dimensionale vectorruimte. Immers in een matrix in SO(n) heeft elke kolomvector lengte 1. De gesloten en begrensde deelverzamelingen van een eindigdimensionale reële vectorruimte worden ook compact genoemd.
SO(n), en ook O(n), zijn compacte Liegroepen. Een stelling zegt dat elke compacte Liegroep een gesloten ondergroep is van een Liegroep O(n).

Representaties

Een representatie van een groep G is een voorstelling van G (niet persé 1 op 1) als groep van lineaire transformaties. Dus eigenlijk een afbeelding van de groep G naar een matrixgroep GL(n,R) zo dat de groepsvermenigvuldiging door die afbeelding wordt gerespecteerd (een groepshomomorfisme). Men bekijkt nog liever complexe representaties. Dan wordt G voorgesteld als groep van complexe lineaire transformaties, en men heeft een groepshomomorfisme van G naar GL(n,C), de groep van alle inverteerbare complexe n×n matrices. Als G een Liegroep is, dan eist men ook nog dat het groepshomomorfisme differentieerbaar is.
GL(n,C) heeft als belangrijke ondergroep de unitaire groep U(n), dit is de groep van alle unitaire n×n matrices. Hoewel een matrix uit U(n) als matrixelementen complexe getallen heeft, is U(n) toch een reële Liegroep, die lokaal geparametriseerd kan worden door n² reële coördinaten.
Een belangrijke klasse van representaties van een groep G vormen de unitaire representaties. Dit zijn groepshomomorfismen van G naar een unitaire groep U(n). Voor eindige groepen en voor compacte Liegroepen kan bewezen worden dat elke representatie equivalent is met een unitaire representatie. Unitaire representaties hebben de prettige eigenschap dat ze volledig reducibel zijn: ze zijn te schrijven als een som van unitaire representaties die niet verder te splitsen zijn. Deze niet-splitsbare unitaire representaties heten irreducibel. Het is bij een gegeven groep G een belangrijke opgave om al zijn irreducibele unitaire representaties te beschrijven.

Enkelvoudige compacte Liegroepen

Compacte Liegroepen kunnen ook zelf opgesplitst worden als een product van compacte Liegroepen die niet verder splitsbaar zijn. Deze onsplitsbare compacte Liegroepen zijn ofwel een enkelvoudige compacte Liegroep, waarbij ze door een codenaam zoals A3 of E8 en door een Dynkin-diagram beschreven worden (zie het algemene stuk), ofwel is het de abelse compacte Liegroep SO(2). De representatietheorie van compacte Liegroepen is volledig bekend.

Enkelvoudige niet-compacte Liegroepen

Elke compacte enkelvoudige Liegroep is een reële vorm van een complexe Liegroep, en deze complexe Liegroep heeft ook een of meer niet-compacte Lie-groepen als reële vorm. Neem bijvoorbeeld SU(2), de groep van unitaire 2×2 matrices van determinant 1, een enkelvoudige compacte Liegroep met codenaam A1, van groot belang in de quantummechanica. Dit is de compacte reële vorm van de complexe Liegroep SL(2,C), de groep van complexe 2×2 matrices van determinant 1 (min of meer de Lorentzgroep, die belangrijk is in de speciale relativiteitstheorie). Een niet-compacte reële vorm van SL(2,C) is SL(2,R), de groep van reële 2×2 matrices van determinant 1.
De representatietheorie van niet-compacte enkelvoudige Liegroepen is veel moeilijker dan in het compacte geval. In de eerste plaats zijn niet alle representaties meer equivalent aan een unitaire representatie. In de tweede plaats zijn de meeste representaties, ook de irreducibele, niet meer eindig-dimensionaal. Een unitaire representatie van de groep wordt nu een groepshomomorfisme naar de groep van unitaire transformaties van een (mogelijk oneindig dimensionale) Hilbertruimte. Dit homomorfisme moet ook nog aan bepaalde continuïteitseisen voldoen. Toch wil men nog steeds graag alle irreducibele unitaire representaties van zo'n groep kennen. Voor een aantal speciale niet-compacte enkelvoudige Lie-groepen, waaronder SL(2,R), is dat gelukt. Voor alle niet-compacte enkelvoudige Lie-groepen kan men door het werk van Harish-Chandra (1923-1983) de zogenaamde reguliere representatie ontbinden (als directe integraal) in irreducibele unitaire representaties. Maar veel irreducibele unitaire representaties vallen buiten die ontbinding van de reguliere representatie. Men weet wel redelijk welke irreducibele representaties kandidaat zijn om om unitair te zijn, maar het is heel lastig om te bewijzen dat ze echt unitair zijn.
Dit zijn de grote problemen waar het team van het Atlas-project aan werkt. Hiernaast werkt men ook aan de representatietheorie van p-adische enkelvoudige groepen, welke waarschijnlijk nog moeilijker is.
De enkelvoudige Lie-groepen (compact, complex en reëel niet-compact) hebben een zeer rijke structuurtheorie gebaseerd op allerlei soorten ondergroepen. In het niet-compacte geval gaat het ondermeer om de maximale compacte ondergroep, (abelse) Cartan-ondergroepen, de (eindige) Weyl-groep en parabolische ondergroepen. Deze enorme machinerie, die tegelijk zeer technisch en zeer esthetisch is, is volledig nodig als theoretische voorbereiding op het zware computerwerk waar het Atlas-team nu mee naar buiten is gekomen.

Nederlandse connectie

Het kennislinkartikel vermeldde al de belangrijke rol in deze E8-resultaten die gespeeld werd door de van origine Nederlandse wiskundigen Fokko du Cloux (overleden in 2006) en Marc van Leeuwen (Poitiers, Frankrijk). Pioniersarbeid betreffende de exceptionele enkelvoudige Liegroepen werd verricht door Hans Freudenthal (1905-1990, sinds 1930 in Nederland).

Meer informatie

Veel van de bovenstaande begrippen vind je, uitgebreider dan hier, besproken in Wikipedia. De Nederlandstalige Wikipedia geeft al wat basisbegrippen, maar doorgaans is de Engelstalige Wikipedia uitgebreider, en je bent er voor de geavanceerdere zaken helemaal op aangewezen. Zie bijv.

Een schat aan informatie is te vinden op de site van het project The Atlas of Lie Groups and Representations (het project waarbinnen de E8-berekeningen zijn uitgevoerd).

Een mooi computerprogramma om zelf te rekenen met (vooral compacte) enkelvoudige Liegroepen en hun representaties is het programma LiE.

to Tom Koornwinder's home page