Galoistheorie
Korteweg-de Vries Instituut, University of Amsterdam
Dit is de website voor het tweede gedeelte van het vak Galoistheorie, gegeven aan de UvA. Het eerste deel van het vak werd gegeven door Gerard van der Geer, zie hier voor de website van het eerste deel. Ik zal op deze pagina bijhouden welke stof we hebben behandeld in het tweede deel van het college.
Behandelde stof
Week 14
Geen college.
Week 15
Voorbeeld van de Galoisgroep van X^4 - 3, oplosbaarheid, t/m Stelling 5.12 in het dictaat.
Week 16
Geen college (tweede paasdag).
Week 17
Sylow ondergroepen, tot/met 2e Sylow stelling. Volgende week maken we dit hoofdstuk af.
Week 18
De Sylow stelling afgemaakt. Bewezen dat C algebraisch afgesloten is. Griekse constructie problemen opgelost met Galois theorie
(zie sectie 25 van het Algebra 3 dictaat van Stevenhagen).
Week 19
Begin met oneindige Galoistheorie. Voorbeeld van de uitbreiding van Q door de kwadraatwortels van alle priemgetallen toe te voegen, en dit voorbeeld gebruiken om uit te leggen waarom het noodzakelijk is, om in het oneindige geval, de Galoisgroep te voorzien van een topologie. Topologische groepen. De topologie op de Galois groep.
Week 20
Verder met oneindige Galoistheorie. Projectieve limieten, p-adische getallen, Z-hoet. Voorbeeld van de Galoisgroep van de uitbreiding van Q door alle eenheidswortels toe te voegen.
Stof behandeld door Gerard
Week 6
Hoofdstuk 1; opgaven 2 en 7 van Hoofdstuk 1.
Week 7
Hoofdstuk 2; opgaven 1 en 3 van Hoofdstuk 2.
Week 8
Kwadratische reciprociteit; begin hoofdstuk 3. Opgaven 12 en 20 van Hoofdstuk 2.
Week 9
Hoofdstelling van Galoistheorie. Opgaven: 2 en 3 van Hoofdstuk 3.
Week 10
Behandeld: normaal en separabel. Opgaven 8 en 14 van Hoofdstuk 3.
Week 11
Karakterisatie van Galoisuitbreidingen, Stelling van het Primitieve Element. Opgaven 2 en 3 van Hoofdstuk 4.
Week 12
Oplosbaarheid; derde en vrierdegraads polynomen. Hoofdstuk 5 t/m pag 32. Opgaven: 9 en 10 van Hoofdstuk 5.
Week 13
Tussentoets.
Tentamens
Het tentamen zal gaan over alle stof die behandeld is t/m week 18. De oneindige Galoistheorie is dus geen onderdeel van het tentamen! Het materiaal dat Gerard heeft behandeld (weken 6 t/m 13) zal ook op het tentamen komen. Ik verwacht niet dat je op het tentamen bewijzen van stellingen uit het dictaat geheel kunt reproduceren. De nadruk zal liggen op het soort opgaven die we hebben gedaan tijdens de werkcolleges. Typisch voorbeeld: Bereken de Galoisgroep van een expliciet (niet te ingewikkeld) polynoom, bepaal het rooster van alle tussenlichamen van een Galoisuitbreiding, en geef voor elk van deze tussenlichamen een primitief element, etc. Een aantal studenten vroegen om extra oefenopgaven over constructieproblemen. Mogelijkheden zijn de opgaven 13, 15, 16, 20, 21, 40, 23, 24, 27 in het dictaat van Stevenhagen. Op het tentamen zal de nadruk liggen op vragen waarbij je voor gegeven expliciete polynomen kan beslissen of de nulpunten construeerbaar zijn of niet. Week 22
Week 28
Hertentamen (Zie datanose!).
Cijferbepaling:
Het eindcijfer is het maximum van de volgende twee getallen A en B.
A = Het gemiddelde van de tussentoets en het tentamen (weging 2:3).
B = Het tentamencijfer.
Referenties
We gebruiken het dictaat van Gerard. Behalve het dictaat van Gerard zijn er ontzettend veel boeken en dictaten te vinden waarin Galoistheorie wordt behandeld. Hier een aantal goede referenties. Dictaten (vrij beschikbaar):
Boeken:
Extra materiaal
Een oude toets: toets 28-10-2010. Extra opgaven. Een proeftentamen, en nog een proeftentamen. Bekijk voor meer achtergrond en als je dat leuk vindt, de volgende videos, over (geschiedenis van) groepentheorie en Galoistheorie, door Jean-Pierre Serre. (De tweede video is in het Frans):
Interessante links
