Galoistheorie
In de Galoistheorie bestuderen we symmetrieën van lichamen en de oplossingen van algebraïsche vergelijkingen. Met behulp van permutatiegroepen beschrijven we hoe de verschillende nulpunten van een polynoom aan elkaar gerelateerd zijn. Eigenschappen van polynomen kunnen zo worden vertaald naar eigenschappen van groepen.
Met behulp van deze Galoistheorie kunnen een aantal klassieke vragen in de wiskunde worden opgelost. Bijvoorbeeld kan je met Galoistheorie laten zien (en begrijpen waarom!) het polynoom \[ x^5 - 4x + 2 \in {\mathbb Q}[x] \] geen oplossing heeft in radicalen (zie ook de Stelling van Abel-Ruffini). Dit is een sterk contrast met polynomen van graad hoogstens \(4\) die wel altijd een oplossing in radicalen hebben.
Een tweede interessante toepassing is in de Griekse constructieproblemen. Met Galoistheorie kan je klassieke Griekse constructie-vraagstukken zoals driedeling van de hoek, verdubbeling van de kubus, kwadratuur van de cirkel oplossen (of, meer precies: Bewijzen dat er geen oplossing bestaat!).
In de moderne wiskunde speelt Galoistheorie een centrale rol. In 1993 bewees Andrew Wiles de laatste stelling van Fermat, door te laten zien dat de Galoisrepresentatie op het Tate moduul van elliptische krommen modulair is. De kern van het bewijs van Wiles is de theorie van Galoisrepresentaties, en is dus gebaseerd op Galoistheorie. In een groter geheel voorspelt het Langlandsprogramma een relatie tussen Galoisrepresentaties en automorfe vormen. Als je geïnteresseerd bent, zie hier mijn artikel met Sander Dahmen meer over het werk van Wiles en het Langlandsprogramma. De BBC heeft een inspirerende documentaire over het werk van Wiles gemaakt:
Rooster
De hoorcolleges worden gegeven door Arno Kret. De colleges zijn op maandagen om 11:00, het eerste college is op 5 februari in zaal SP G3.02. De werkcolleges worden gegeven door Wessel Bindt en Ronen Brilleslijper. Het eerste werkcollege is op 8 februari in zaal SP A1.24.
Tentamens:
Het tentamen is op donderdag 31 mei, in zaal SP C0.05.
Het hertentamen is op 9 juli, in zaal SP D1.162.
Let op: Roosterinformatie op Datanose is meer betrouwbaar.
Voorkennis
De vakken algebra 1 en algebra 2 die gegeven worden bij de UvA, of vakken met equivalente inhoud.
Concepten uit Algebra 1 die ik zal gebruiken:
Groepen
Voorbeelden van groepen zoals \(V_4\), \(D_n\), \(S_n\), \(A_n\), \({\mathbb Z}/n{\mathbb Z}\), \(({\mathbb Z}/n{\mathbb Z})^\times\), \(GL_d({\mathbb Z}/n{\mathbb Z})\), \(({\mathbb R}_{>0},\cdot)\), \(({\mathbb C}, +)\), etc.
Ondergroepen, kern en beeld, nevenklassen, quotiëntgroep, normaaldelers, isomorfiestelling.
Groepswerkingen. Baan, stabilizator, baanformule (orbit-stabilizer theorem).
Algebra 2:
Idealen, priemidealen, maximale idealen, Chinese reststelling.
Nuldelers, irreducibele elementen, hoofdideaaldomeinen, unieke factorizatie domein.
Structuur van \(K(\alpha)\) als \(\alpha\) algebraïsch of transcendent is, eindige lichaamsuitbreidingen, de graad van een lichaamsuitbreiding.
Leerdoelen
Na het behalen van het college kan je bijvoorbeeld
Uitleggen waarom er geen algemene formule bestaat waarmee je polynomen van graad \(\geq 5\) kan oplossen.
Uitleggen en bewijzen waarom je de regelmatige 17-hoek wel kunt construeren met passer en liniaal maar de regelmatige 19-hoek niet.
Herkennen en bewijzen dat de Galoisgroep van het polynoom \(f = X^4 - X^2 - 2 \in {\mathbb Q}[X]\) isomorf is met de viergroep van Klein.
Alle deellichamen bepalen van \({\mathbb Q}(\zeta_{15})\) waarbij \(\zeta_{15}\) een primitieve vijftiende eenheidswortel is door (bijvoorbeeld) voor elk deellichaam een primitief element te geven.
Herkennen en kunnen bewijzen dat de nulpunten van het polynoom \[f = X^4 - X^3 + X^2 - X + 1 \in {\mathbb Q}[X]\] in \({\mathbb C}\) met passer en liniaal geconstrueerd kunnen worden.
Hier is de volledige lijst met leerdoelen. Deze lijst kan je ook als checklist kunt gebruiken ter voorbereiding op het tentamen. Kijk vooral ook naar het tentamen van vorig jaar (zie onderaan de pagina).
Literatuur
In het college zullen we het dictaat Algebra 3 van Peter Stevenhagen gebruiken. We zullen ook een hoofdstuk (over symmetrische polynomen) uit het dictaat Algebra 2 behandelen.
Hier nog een aantal goede dictaten:
Boeken om Galoistheorie uit te leren:
Ik zou beginnen met kijken naar de boeken van Stewart en Lang. Ik raad ook het boek van Douady aan.
Als je bovenstaande boeken niet in de bibliotheek kan vinden dan staat hier nog wat interessante informatie over de online beschikbaarheid van boeken.
(Voorlopige) planning
Hieronder een voorlopige planning van het college.
| Collegeweek | Materiaal uit de dictaten Algebra 2 en 3 van Stevenhagen |
|---|---|
| 1 en 2 | Algemene inleiding en overzicht van het vak. Hoofdstuk 14: Symmetrische polynomen. Algemeen polynoom van graad n, symmetrische polynomen, discriminant, resultante. |
| 3 en 4 | Hoofdstuk 21: Uitbreidingslichamen. Algebraïsch en transcendent, formele adjunctie van nulpunten, algebraïsche afsluiting, ontbindslichamen, eenduidigheidsstellingen. |
| 5 | Hoofdstuk 22: Eindige lichamen. Het lichaam \({\mathbb F}_{p^n}\), Frobeniusautomorfisme, irreducibele polynomen over \({\mathbb F}_{p^n}\), automorfismen van \({\mathbb F}_q\). (Deze stof is herhaling van algebra 2.) |
| 6 en 7 | Hoofdstuk 23: Separabele en normale uitbreidingen. Fundamentele verzameling, separabele uitbreidingen, perfecte lichamen, primitieve elementen, normale uitbreidingen, onafhankelijkheid van karakters, norm en spoor. |
| 8 en 9 | Hoofdstuk 24: Galoistheorie. Galoisuitbreidingen, hoofdstelling, bewijs van de hoofdstelling, Galoisgroep van een polynoom, cyclische uitbreidingen, cyclotomische uitbreidingen. |
| 10 en 11 | Hoofdstuk 25: Radicaaluitbreidingen. Constructieproblemen, kwadratische afsluiting, radicaalafsluiting, onoplosbare polynomen, radicaalformules. |
| 12 en 13 | Hoofdstuk 26: Toepassingen van de Galoistheorie. Hoofdstelling van de algebra, kwadratische reciprociteit, symmetrische polynomen, radicaalformules. |
| 14 en 15 | Open ruimte. Eventueel kunnen we deze ruimte gebruiken om achterstand in te halen, voor een extra onderwerp en/of tentamenvoorbereiding. |
Let op: Deze voorlopige planning zal tijdens het semester behoorlijk veranderen!
Ik hou hier bij wat ik elke week heb gedaan:
| Collegeweek | Materiaal uit de dictaten Algebra 2 en 3 van Stevenhagen |
|---|---|
| 1 | Algemene inleiding en overzicht van het vak. Begin met H14, tot/met blz 52. |
| 2 | Discriminant, resultante, voorbeeld \(\Delta(X^4 + X + 1)\). H14 afgemaakt. Begonnen met H21, tot/met stelling 21.3. |
| 3 | Hoofdstuk 21 tot de eenduidigheidsstellingen |
| 4 | Hoofdstuk 21 afgemaakt. Begonnen met H22. |
| 5 | Galoistheorie voor eindige lichamen (eind H22), begin H23 separabiliteitsgraad. |
| 6 | H23 t/m 23.9 |
| 7 | Geen college. |
| 8 | Geen college. |
| 9 | Hoofdstuk 23, primitief element, gekomen tot sectie over norm en spoor. |
| 10 | Hoofdstuk 24, bewijs hoofdstelling gedaan |
| 11 | Hoofdstuk 24, blz 48, 49. Voorbeeld \(X^3-2\). Lees voorbeeld \(X^4 - 2\) zelf. Ik heb ook voorbeeld \(X^6 - 2X^3 + 2\) gedaan (aantek). |
| 12 | Hoofdstuk 24, sectie over cyclische uitbreidingen |
| 13 | Hoofdstuk 24 afgemaakt (dus zeta_n voor n samengesteld), en Griekse constructie problemen (begin H24). |
| 14 | H25 radicaaluitbreidingen. (Wessel) |
Beoordeling
Ik gebruik het standaard toetsmodel bestaande uit een tussentoets, huiswerk en tentamen, met weging respectievelijk \(3:2:5\). Om het vak te halen moet je bovendien voor de tussentoets en het tentamen gemiddeld een 5.5 halen (weging \(3:5\)).
Huiswerk
Elke week zal ik hier op donderdag de huiswerkopgaven opgeven en op maandagen zal ik hier de opgaven zetten die we op het werkcollege zullen doen.
| Collegeweek | Werkcollege-opgaven | Huiswerkopgaven |
|---|---|---|
| 1 | H14: 6, 10, 10, 22 | H14: 21, 24 |
| 2 | H14: 14, 17 | H14: 15, 20 |
| 3 | H21: 23, 24, 28, 37 | H21: 18, 30 |
| 4 | H21: 10, 26, 27, 31, 32, 33 | H21: 34, 35 |
| 5 | H22: 3, 4, 6, 10, 11 | H22: 15, 30 |
| 6 | H23: 9, 12, 14, 17, 18 | H23: 10, 19 |
| 7 | H23: 15, 18 | Geen huiswerk |
| 8 | ||
| 9 | H23: 5, 26, 20, 22, (4, 13) | H23: 24, 28 |
| 10 | H23: 37, H24: 2, 4, 9, 14 | H24: 10, 16 |
| 11 | H24: 15, 20, 45, (3) | H24: 19, 22 |
| 12 | H24: 24, 54, 45, 46, 47 | H24: 25, 26 |
| 13 | H24: 28, 35, 37, 38 | opgave |
Je uiteindelijke huiswerkcijfer is het gemiddelde van de 12 beste resultaten. Lever je uitwerkingen maandag voor aanvang van het college in. Het huiswerk van de eerste week mag je ook later (Donderdag 15) voor het begin van het werkcollege inleveren. Als je handschrift slecht is, kan de assistent je vragen om je huiswerk voortaan in LaTeX te maken.
Update 7 mei Het huiswerk H24.25+H24.26 kan je op donderdag 17 mei inleveren. De laatste huiswerkopdracht (dus nummer 13) kan je op donderdag 24 mei inleveren.
Update 30 april Vanaf week 11 kan je je huiswerk ook voor aanvang van het volgende werkcollege inleveren (dus de volgende Donderdag). Let op
We werken met een harde grens. Tijdens het werkcollege worden er geen uitwerkingen van voorgaande weken meer geaccepteerd!
Net als bij de tussentoets zal ik naast de huiswerkopgaven ook een aantal werkcollege-opgaven laten terugkomen op het tentamen. Bekijk deze dus wel goed.
Tussentoets
De tussentoets zal gaan over het materiaal dat ik heb behandeld in de eerste 7 weken (zie bovenstaande voorlopige planning). Stof: Hoofdstuk 14, H21 t/m blz 36 van H23 (stelling 23.9). Kijk vooral ook naar je college-aantekeningen, de werkcollege-opgaven en de huiswerkopgaven.
De tussentoets zal voor een deel gaan over de huiswerkopgaven die bij het werkcollege zijn behandeld. Ik zal ook vragen naar stellingen, definities en eenvoudige bewijzen uit het dictaat.
Tentamen
Het tentamen gaat over de hoofdstukken 14, 21-25 uit de dictaten Algebra 2 en 3 van Stevenhagen plus eventuele extra stof die behandeld is in het college en de werkcolleges.
Update 7 mei Het tentamen gaat over de hoofdstukken 14 en 21-25 waarbij we gaan tot en met bladzijde 74. De laatste sectie over wortelformules uit H25 is dus geen tentamenstof. Ik zal H26 doen in een extra avondcollege; dit hoofdstuk is dus factultatief en is geen tentamenstof.
De nadruk van van het tentamen ligt bij het kunnen toepassen van Galoistheorie op concrete vraagstukken. Zie ook de leerdoelen hierboven, en de oude tentamens hieronder.
Behalve concrete vraagstukken, heeft het tentamen ook een meer abstracte component waar ik zal vragen naar stellingen, definities en eenvoudige bewijzen. Je hoeft op het tentamen niet complete bewijzen van moeilijke stellingen te kunnen reproduceren, ik kan je wel vragen naar bepaalde stappen van bewijzen. Ik zal je ook vragen stellingen en definities te formuleren, hierbij let ik vooral op of je alle voorwaarden die bij een stelling hoort kent. In verdere deelvragen zal ik testen of je voorbeelden van de stelling kent en begrijpt waarom de stelling niet waar is als je voorwaarden weglaat.
Het tentamen van vorig jaar met uitwerkingen.
Hier vind je het Hertentamen 2017. Een aantal tentamens van 2 of meer jaar terug, toen Gerard van der Geer het college nog gaf: Tentamen 2016, Tentamen 2010, Extra Opgaven 2006. Hier kan je een lijst vinden met 20 oude tentamens van het college Galoistheorie uit Leiden, dat veel lijkt op ons college (verschil: Wij doen symmetrische polynomen in algebra 3 en eindige lichamen in algebra 2, in Leiden is dat andersom).
Nog een aantal opmerkingen:
- Op het tentamen zijn hulpmiddelen anders dan een pen niet toegestaan.
- Geef altijd bij elk antwoord een volledige redenatie of bewijs. Uitwerkingen die onleesbaar zijn worden genegeerd.
- In je antwoorden kan je stellingen uit het dictaat gebruiken. Maar let op, als je dit doet moet je natuurlijk wel laten zien dat aan alle voorwaarden van de stelling zijn voldaan!
- Vanaf collegejaar 2017/2018 heeft het vak Galoistheorie een huiswerkcomponent. Bij het tentamen zal tenminste 1 van de vragen gaan over een willekeurig gekozen huiswerkopgave.
- Zie ook hier voor meer handige tips.
Fraude en plagiaat
Ingeval van fraude en of plagiaat bij het huiswerk, tussentoets, tentamen en/of honorsprogramma zullen we dit melden. Zie hier voor de richtlijnen. Je mag huiswerk samen met de andere studenten maken, maar je moet zelf het antwoord opschrijven en indienen. Bovendien wil ik dat je dan aangeeft met wie je hebt samengewerkt. Als de assistent het vermoeden heeft dat huiswerk is overgeschreven kan hij/zij je vragen stellen over je uitwerkingen.
Math Doctor Bob
Hier ook nog een aantal filmpjes, uitgelegd door Robert Donley. Ik denk dat dat belangrijk is voor een abstract college als Galoistheorie om vooral veel voorbeelden te kennen:
Galois Correspondence 1 - Examples
Cyclotomic Polynomials
Example: Quartic Extension
Example of Splitting field
Youtube-college van Benedict Gross
Voor als je "meer" wilt: Er is een cursus "Abstract algebra" volledig online beschikbaar, gegeven door Benedict Gross. Het gaat om een serie van 33 colleges! Veel weten jullie hier al van, maar er worden ook allerlei nieuwe onderwerpen behandeld:
Twee voordrachten van Jean-Pierre Serre
Twee voordrachten van Serre. De eerste voordracht gaat over de theorie van eindige groepen en de relatie met Galoistheorie. De tweede video gaat over abelse Galoisgroepen.
Mathematics Stackexchange
Stackexchange is een goede website waar je terecht kunt met al je vragen over Galoistheorie:
Pari
Pari is een computeralgebrapakket waarmee je allerlei zaken gemakkelijk kunt narekenen. Het is een gratis programma dat je hier kunt downloaden. Een aantal voorbeelden van wat je kunt doen met Pari:
Bereken de Galoisgroep van de polynomen \(X^5 - X + 1\) en \(X^4 + X^3 + X^2 + X + 1 \in {\mathbb Q}[X]\):
gp > polgalois(x^5-x+1)
%1 = [120, -1, 1, "S5"]
gp > polgalois(x^4+x^3+x^2+x+1)
%2 = [4, -1, 1, "C(4) = 4"]Bereken \(2^{123}\) modulo \(456\):
gp > Mod(2^123,456)
%3 = Mod(392, 456)Bepaal de priemfactorisatie van de discriminant van het polynoom \(X^5 + X^2 - X + 1 \in {\mathbb Q}[X]\):
gp > factor(poldisc(x^5+x^2-x+1))
%4 =
[ 2 2]
[ 5 2]
[23 1]Factorizeer het zevende cyclotomische polynoom \[ \Phi_7 = X^6 + X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + X + 1 \in {\mathbb Z}[X] \] over \({\mathbb Q}\) en daarna over \({\mathbb F}_7\):
gp > f = x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1
%5 = x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
gp > factor(f)
%6 = [x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 1]
gp > factor(f*Mod(1,7))
%7 =
[Mod(1, 7)*x + Mod(6, 7) 6]Als je even nadenkt zie je dat het antwoord met label ''\(\%7\)'' equivalent is met \[ \Phi_7 = (X-1)^6 \in {\mathbb F}_7[X]. \]
Hier een lijst van alle pari-instructies:
Hier een meer gedetailleerde uitleg.
Meer interessante links
Honorsuitbreiding: Oneindige Galoistheorie
Voor studenten die bij de tussentoets minimaal een 8 halen is mogelijk om met het honorsprogramma mee te doen. Dit honorsprogramma bestaat uit 3 studiepunten (EC), en het gaat grotendeels om zelfstudie. Het tentamen van het honorsprogramma zal in de week van 30 juni vallen. De bedoeling is dat je literatuur gaat lezen en probeert te begrijpen. Daarnaast moet je opgaven uitwerken in LaTeX die je voor het schriftelijke tentamen van het honorsprogramma (eind van juni) moet inleveren.
Het honorsprogramma gaat over oneindige Galoistheorie. We bestuderen lichaamsuitbreidingen \(L/K\) die algebraïsch zijn maar niet noodzakelijk eindig. Algebraïsch wil zeggen dat voor elk element \(x \in L\) er een polynoom \(f \in K[X]\), \(f \neq 0\), bestaat zó dat \(f(x) = 0\). We kunnen ook in deze context definiëren wat een normale en separabele algebraïsche uitbreiding is. Een typisch voorbeeld van een dergelijke lichaamsuitbreiding is \(\overline {\mathbb Q} /{\mathbb Q}\) waar \(\overline {\mathbb Q}\) het deellichaam van \({\mathbb C}\) is die bestaat uit alle algebraïsche getallen. De bijbehorende Galoisgroep \(\rm{Gal}(\overline {\mathbb Q}/{\mathbb Q})\) wordt ook wel de absolute Galoisgroep genoemd. Merk op: De uitbreiding \(\overline {\mathbb Q}/{\mathbb Q}\) is oneindig! Voor oneindige normale en separabele extensies definiëren we de zogenaamde Krull-topologie op de Galoisgroep. Het zijn dan de gesloten ondergroepen van de absolute Galoisgroep die corresponderen met de tussenuitbreidingen.
Literatuur om te lezen: Paragraaf 28 van het dictaat Algebra 3 van Stevenhagen. Voor de opgaven gebruiken we het dictaat van Hendrik Lenstra 'Galois theory for schemes'. De beoordeling zal gaan op basis van het huiswerk en het tentamen.
Huiswerk. Verplichte opgaven: 1.8, 1.9, 1.14, 1.16, 2.13, 2.14, 2.16 en 2.17. Vrije keuze: Minimaal 8 opgaven uit Hoofdstuk 1 en 2. Werk het huiswerk uit in LaTeX.
Tentamen. Verplichte huiswerkopgaven. Daarna stellingen, definities en bewijzen uit het dictaat van Stevenhagen.